理論の発展
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「アインシュタイン＝ブリルアン＝ケラー量子化条件」の記事における「理論の発展」の解説
前期量子論におけるボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件は、周期的な多自由度な系の量子化則を与える。 ∮ p i d q i = n h ( n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \oint p_{i}\,dq_{i}=nh\quad (n=1,2,\dots )} ここで、積分は qi の1周期にわたる。但し、ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件が適用できるのは、各自由度の組(qi, pi)について独立な運動に分解できる場合 、すなわち変数について分離可能である場合に限られている。1917年にアイシュタインは、量子化においては分離可能であることは本質的ではなく、むしろ正準不変な Σpi dqi を通じた量子化が意味をもつと考えた。そこで、アインシュタインは、多重周期系の閉軌道、すなわちトーラス上の軌道に対する量子化条件として ∮ γ i ∑ i = 1 n p i d q i = n h ( n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \oint _{\gamma _{i}}\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq_{i}=nh\quad (n=1,2,\dots )} を考案した。 後に、ブリルアンは波動関数 ψ の半古典論的な近似において、波動関数 ψ ( q ) = A ( q ) exp ( i ℏ S ( q ) ) {\displaystyle \psi (q)=A(q)\exp \left({\frac {i}{\hbar }}S(q)\right)} の一価性の条件からアイシュタインの量子化条件が導かれるかことを示した。さらにケラーは、ブリルアンの議論を推し進め、古典軌道の焦曲線の条件により、量子化における整数/半整数の条件が定まることを示し、マスロフ指数による補正を与えた。
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理論の発展
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イェンス・ベルセリウスも同じ時期に塩の水溶液の電気分解を研究していた。ベルセリウスは電気分解により陽極と陰極に生成する生成物から、元素を陽性と陰性という電気的な極性で分類し、またその程度を序列として表した。これは現在でいうイオン化傾向の概念に相当する。 またベルセリウスは元素同士の結合の強さや反応性は、元素の極性の強さ(電荷の大きさ)だけでなく、その分極のしやすさにもよるとした。金属酸化物を硫黄で還元することを例にすると、硫黄は総合的には負電荷を帯びた陰性の元素であるが、金属より分極しやすい正電荷を持っている。そのため硫黄は金属よりも効率的に酸素の負電荷と結合することができ、陰性元素にもかかわらず還元が起こるとした。 また酸化物についてもそれぞれの陽性や陰性を考え、これは酸化された元素のもともとの極性によって定まるとした。例えば酸化カリウムは強い陽性元素であるカリウムに対応して陽性で、三酸化硫黄は陰性元素である硫黄に対応して陰性であるとした。そして陽性の酸化物と陰性の酸化物は元素と同じように結合するとした。酸化カリウムと三酸化硫黄からは硫酸カリウムが得られる。 ベルセリウスは有機化合物については炭素や水素が陽性の複合体を形成し、それと陰性の酸素が結合して含酸素有機化合物ができると考えていた。しかし、無機化合物の酸化物と異なり含酸素有機化合物の極性についてはその複合体の種類によって大きく変わり単純に定めることは不可能であるとした。発酵や腐敗、燃焼などによって有機化合物が無機化合物に変換されていく過程は、その炭素や水素が本来の極性を取り戻す過程と考えられた。 これらの理論は1811年に初めて発表され、1819年にまとめられた形式で発表された。ベルセリウスの理論は当時知られていた多くの化学反応を包括的に説明することが可能であった。そこで当時の化学者の多くはこの考えを受け入れていった。
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理論の発展
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ソリトンが現れる系をソリトン系といい、ソリトン系の従う発展方程式をソリトン方程式という。すなわち、ソリトン方程式はソリトン解をもつ。ソリトン方程式の代表的なものに、KdV方程式、KP方程式、サインゴルドン (sine-Gordon) 方程式、非線型Schrödinger方程式、戸田格子方程式、箱玉系のセルオートマトンなどがある。特にKdV方程式はソリトン研究において常に端緒を開く役割を果たしてきた。ソリトン研究の初期段階においては新たなソリトン方程式が次々と発見され、発見者の名前が付けられていったが、1981年の佐藤理論の完成により、ソリトン方程式は無限に存在することが示されたのでそのようなこともなくなった。ソリトン方程式を解く手法には逆散乱法（英語版）、広田の方法（双線形化法）などがある。ソリトンは、流体力学分野だけでなく、物性物理、微分幾何学、場の量子論など多方面で応用されている。
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