波動関数
波動関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/06 09:03 UTC 版)
詳細は「規格化」を参照 量子力学で現れる波動関数Ψは二乗可積分関数の空間のベクトルとみなすことができる。この意味でベクトルΨは正規化されることが多い。物理的には、この操作は全空間での存在確率の合計を1にすることと解釈される。
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波動関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/18 14:24 UTC 版)
固有状態 ψ 4 , 3 , 1 {\displaystyle \psi _{4,3,1}} の3次元モデル。 ドーナツ状の形の内部に、45%の確率で電子が存在する。 球面座標系において、標準位置での波動関数は ψ n l m ( r , θ , φ ) = ( 2 n a 0 ) 3 ( n − l − 1 ) ! 2 n ( n + l ) ! e − ρ / 2 ρ l L n − l − 1 2 l + 1 ( ρ ) Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle \psi _{nlm}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}}}e^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )} で与えられる。ここで、 ρ = 2r / na0, a0 はボーア半径、 L n − l − 1 2 l + 1 ( ρ ) {\displaystyle L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )} は、n - l - 1 次の一般化されたラゲールの陪多項式であり、著者によって様々に定義されるがここではMessiahやMathematicaによる定義に従う。 Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )\,} は、l 次 m 桁の球面調和関数である。 量子数は以下の値を取る： n = 1 , 2 , 3 , … , l = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 , m = − l , … , l . {\displaystyle {\begin{aligned}&n=1,2,3,\ldots ,\\&l=0,1,2,\ldots ,n-1,\\&m=-l,\ldots ,l.\end{aligned}}} さらに、これらの波動関数は規格化され、直交関数列化される。 ∫ 0 ∞ r 2 d r ∫ 0 π sin θ d θ ∫ 0 2 π d φ ψ n l m ∗ ( r , θ , φ ) ψ n ′ l ′ m ′ ( r , θ , φ ) = ⟨ n , l , m | n ′ , l ′ , m ′ ⟩ = δ n n ′ δ l l ′ δ m m ′ . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\mathrm {d} r\int _{0}^{\pi }\sin \theta \mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \;\psi _{nlm}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'l'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,l,m|n',l',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{ll'}\delta _{mm'}.} ここで |n, l, m⟩ はブラ-ケット記法で表した波動関数 ψnlm、δ はクロネッカーのデルタである。
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波動関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 17:29 UTC 版)
電子運動量密度は波動関数から直接計算できる量である。波動関数の対称性は運動量空間と実空間で同一なので、コンプトンプロファイルの形を解析すれば実空間の波動関数、化学状態、電子状態に関する情報を得ることができる。
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波動関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/27 10:26 UTC 版)
系のハミルトニアンを H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} とすると、時間依存しないシュレーディンガー方程式（またはハミルトニアンの固有値方程式）は以下で表される。 H ^ | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}\vert {\Psi }\rangle =E\vert {\Psi }\rangle } ここで | Ψ ⟩ {\displaystyle \vert {\Psi }\rangle } はエネルギー固有状態、 E {\displaystyle E\ } はエネルギー固有値である。多電子系についてはこの方程式は解けない。CC法ではこのエネルギー固有状態を既知の関数で表して、この方程式の近似解を求める。 最低エネルギー状態の波動関数とエネルギーは、それぞれ | Ψ ⟩ {\displaystyle \vert {\Psi }\rangle } とEで表される。他のCC法（運動方程式結合クラスター法や多参照結合クラスター法など）を用いれば、系の励起状態（と基底状態）の近似解も求めることができる。 CC法では多電子系の波動関数を以下のように近似して、励起演算子を求める問題へと変換される。 | Ψ ⟩ = e T ^ | Φ 0 ⟩ {\displaystyle \vert {\Psi }\rangle =e^{\hat {T}}\vert {\Phi _{0}}\rangle } ここで | Φ 0 ⟩ {\displaystyle \vert {\Phi _{0}}\rangle } は通常はハートリー-フォック分子軌道から構成されたスレーター行列式である。 T ^ {\displaystyle {\hat {T}}} は励起演算子で、 | Φ 0 ⟩ {\displaystyle \vert {\Phi _{0}}\rangle } に作用した場合、様々な励起状態を表すスレーター行列式の線形結合が作られる。詳しくは以下を参照。 配置間相互作用などとは違って、解の示量性を保証するため、この指数関数を用いる方法は適切である。しかしCC法の大きさについての無矛盾性は参照波動関数の大きさの無矛盾性に依存する。CC法の欠点は、変分原理を用いないところである。
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