シュレーディンガー‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【シュレーディンガー方程式】
シュレーディンガー方程式
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シュレーディンガー方程式（シュレーディンガーほうていしき、英: Schrödinger equation）とは、物理学の量子力学における基礎方程式である。 シュレーディンガー方程式という名前は、提案者であるオーストリアの物理学者エルヴィン・シュレーディンガーにちなむ。1926年にシュレーディンガーは量子力学の基礎理論に関する一連の論文を提出した[1]。
注釈
- ^ 物理学の文献において作用素は演算子とも呼ばれる。以下では作用素の意味で演算子という語を用いる。
- ^ このようなベクトルの記法をブラ・ケット記法と呼ぶ。 |η⟩ という形のベクトルをケットベクトル、⟨ξ| という形のベクトルをブラベクトルと呼ぶ。文献によっては状態ベクトルに対してブラ・ケット記法が用いられていないが、数学的に意味するところは同じである。
- ^ 誤解のおそれがない限り、単にプランク定数と呼ぶことが多い。
- ^ 古典論におけるハミルトニアンと区別する意味で、あるいは演算子であることを強調する意味で、ハミルトン演算子 (Hamiltonian operator) と呼ぶこともある。
- ^ 物理学の文献において共役演算子は † を用いて示されることが多い。他に標準的な記号として ∗ で示す文献もある。
- ^ ラゲールの陪多項式は文献によって異なった定義がなされる。ラゲールの陪多項式や水素原子を参照。
出典
- ^ 高林 2010, p. 253, §8.1 定常状態のシュレーディンガー方程式.
- ^ 新井 2003, pp. 454–455, 9.1 強連続 1 パラメータユニタリ群.
- ^ 新井 2003, pp. 467–469, 10.2 量子力学の公理系.
- ^ ランダウ & リフシッツ 2008, pp. 397–398, §83. ディラック行列.
- ^ 以降の時間発展演算子の取り扱いについてはたとえば、(清水 2004, pp. 184–188, 193, 第 6 章 時間発展について) を参照。
- ^ 古典場と電子の相互作用に関する取り扱いについてはたとえば、(江沢 2002, pp. 116–123, 13. 輻射と物質の相互作用) や (ランダウ & リフシッツ 2008, pp. 214–215, 431–437, §43. 磁場のなかの粒子; §92. 外場内の電子に対するディラック方程式) などを参照。(ランダウ & リフシッツ 2008) はシュレーディンガー方程式の相対論的拡張であるディラック方程式や、シュレーディンガー方程式に磁場とスピンの相互作用を含めたパウリ方程式に関しても言及している。
- ^ Shankar 1994, pp. 143ff.
- ^ Feynman, Leighton & Sands 1964, pp. 20–7, volume 3 Operators.
- ^ Sakurai 1989.
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- ^ a b Tipler & Mosca 2008.
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- ^ Schrödinger 1984, 1926年の第一論文のイントロダクションを参照。.
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- ^ Moore 1992, p. 219.
- ^ Moore 1992, p. 220.
- ^ Moore 1992, pp. 220, 479, It is clear that even in his last year of life, as shown in a letter to Max Born, that Schrödinger never accepted the Copenhagen interpretation (cf. p. 220)..
シュレーディンガー方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/09 09:20 UTC 版)
「エネルギー演算子」の記事における「シュレーディンガー方程式」の解説
粒子のエネルギー保存に関する古典的な方程式を用いる： E = H = T + V {\displaystyle E=H=T+V} ここで E は粒子の全エネルギー、H はハミルトニアン、T は運動エネルギー、V はポテンシャルエネルギーである。エネルギー演算子とハミルトニアン演算子に置換し、 E ^ = H ^ {\displaystyle {\hat {E}}={\hat {H}}} 波動関数を掛けることで、シュレーディンガー方程式を得る： E ^ Ψ = H ^ Ψ {\displaystyle {\hat {E}}\Psi ={\hat {H}}\Psi } これは次のように書き直せる： i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = H ^ Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)} ここで i は虚数単位、ħ は換算プランク定数、^H はハミルトニアン演算子である。
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シュレーディンガー方程式
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「トンネル効果」の記事における「シュレーディンガー方程式」の解説
一粒子・一次元の時間非依存シュレーディンガー方程式は以下のように書ける。 − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 Ψ ( x ) + V ( x ) Ψ ( x ) = E Ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)} d 2 d x 2 Ψ ( x ) = 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) Ψ ( x ) ≡ 2 m ℏ 2 M ( x ) Ψ ( x ) , {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),} ここで ℏ {\displaystyle \hbar } はディラック定数、m は粒子質量、x は粒子の動く方向に沿って測った位置、Ψ はシュレーディンガーの波動関数、V は粒子はポテンシャルエネルギー、E は x 方向に運動する粒子のエネルギー、M(x) は広く受け入れられている物理学的な名前はないが V(x) − E により定義される量である。 このシュレーディンガー方程式の解は M(x) が正か負かによって異る形式をとる。M(x) が定数で負のとき、シュレーディンガー方程式は次のように書ける。 d 2 d x 2 Ψ ( x ) = 2 m ℏ 2 M ( x ) Ψ ( x ) = − k 2 Ψ ( x ) , w h e r e k 2 = − 2 m ℏ 2 M . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\;\;\;\;\;\;\mathrm {where} \;\;\;k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.} この方程式の解は位相定数が +k または -k の進行波を表わす。一方、M(x) が定数で正のとき、シュレーディンガー方程式は次のように書ける。 d 2 d x 2 Ψ ( x ) = 2 m ℏ 2 M ( x ) Ψ ( x ) = κ 2 Ψ ( x ) , w h e r e κ 2 = 2 m ℏ 2 M . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)={\kappa }^{2}\Psi (x),\;\;\;\;\;\;\mathrm {where} \;\;\;{\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.} この方程式の解はエバネッセント波を表わす。M(x) が位置によって変化する場合も、M(x) が負か正かによって同じ挙動の違いが生じる。したがって、M(x) の符号が媒質の性質を表わしている。M(x) が負ならば上で説明した媒質Aに相当し、正ならば媒質Bに相当する。したがって、M(x) が正の領域が M(x) が負の領域に挟まれている場合に障壁が形成され、エバネッセント波結合が生じうる。 M(x) が x によって変化する場合は数学的取扱が困難であるが、通常は実際の物理系に対応しない例外的な特殊例もいくつかある。教科書に載っているような半古典近似法に関連した議論は次節で述べる。完全で複雑な数学的取扱に関しては、Fröman & Fröman 1965を参照されたい。彼らの手法は教科書には載っていないが、定量的には小さな影響しかない補正である。
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シュレーディンガー方程式
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「シュレーディンガー描像」の記事における「シュレーディンガー方程式」の解説
時間発展はシュレーディンガー描像であるとした時、演算子形式では一般に、「状態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } は以下のシュレーディンガー方程式に従うように時間発展する」ということを基本原理とする。 i ℏ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = H ^ | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial {}}{\partial {}t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle } ここで、 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} は系の全力学的エネルギーを表す「ハミルトニアン（ハミルトン演算子）」というエルミート演算子であり、対応する古典系のハミルトニアンを正準量子化する事によって得られることが多い。
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シュレーディンガー方程式
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「波動力学」の記事における「シュレーディンガー方程式」の解説
1924年にド・ブロイは電子の波動説を唱え、電子は点状の粒子であると共に、ある種の波（物質波）を伴うと主張した。この物質波の存在が実験的に確認されたことで、電子は粒子かつ波動であることが実証された。 1926年にエルヴィン・シュレーディンガーが、電子が従うべき波動方程式を導き、シュレーディンガー方程式と対応づけた。このシュレーディンガー方程式は、水素原子の離散的なエネルギー準位を上手く説明することに成功した。このシュレーディンガー方程式によって記述される電子の運動力学が波動力学である。 シュレーディンガー方程式は、相対性理論による質量の増加や、相対論的な速度の表現を考慮に入れていない。ポール・ディラックはシュレーディンガー方程式を相対論的に拡張して、理論的にスピンの存在を導いた。 結晶や導体中の電子の挙動などを取り扱うときは、電子の速度は光に比べて十分小さいので、非相対論的なシュレーディンガー方程式が用いられる。 波動力学は後に行列力学と数学的に同等であることが証明された。
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