固有状態
固有状態
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
スピン1/2のときと同様の議論により、オブザーバブルD1/2は２つの固有値 ℏ 2 , − ℏ 2 {\displaystyle {\hbar \over 2},-{\hbar \over 2}} を持つので、これらに対応する固有状態をそれぞれ e n + {\displaystyle e_{\mathbf {n} }^{+}} 、 e n − {\displaystyle e_{\mathbf {n} }^{-}} とし、k = −u, −(u − 1), …, (u − 1), uに対し、 E n , k = c ( k ) e n + ⋅ ⋯ ⋅ e n + ⏟ u + k ⋅ e n − ⋅ ⋯ ⋅ e n − ⏟ u − k = c ( k ) S ( e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⏟ u + k ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ⏟ u − k ) {\displaystyle E_{\mathbf {n} ,k}=c(k)\underbrace {e_{\mathbf {n} }^{+}\cdot ~\cdots ~\cdot e_{\mathbf {n} }^{+}} _{u+k}\cdot \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{-}\cdot ~\cdots ~\cdot e_{\mathbf {n} }^{-}} _{u-k}=c(k){\mathcal {S}}(\underbrace {e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}} _{u+k}\otimes \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-}} _{u-k})} ∈ W 1 / 2 ⊙ 2 u = W u {\displaystyle \in W_{1/2}{}^{\odot 2u}=W_{u}} …(P1) とする:p25-27。 ここでc(k)は正規化定数:p25-27 c ( k ) = ( 2 u ) ! ( u + k ) ! ( u − k ) ! {\displaystyle c(k)={\sqrt {(2u)! \over (u+k)!(u-k)!}}} …(P2) すると、 T ^ n ( E n , k ) = i ℏ ( D u ) ∗ ( X n ) ( E n , k ) = c ( k ) ⋅ S ( ∑ j = 1 2 u ( I ⊗ ⋯ ⊗ ( D 1 / 2 ) ∗ ( X n ) ∨ j ⊗ ⋯ ⊗ I ) ( e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ) ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {n} }(E_{\mathbf {n} ,k})=i\hbar (D^{u})_{*}(X_{\mathbf {n} })(E_{\mathbf {n} ,k})=c(k)\cdot {\mathcal {S}}(\sum _{j=1}^{2u}(I\otimes \cdots \otimes {\overset {\overset {j}{\vee }}{(D^{1/2})_{*}(X_{\mathbf {n} })}}\otimes \cdots \otimes I)(e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-}))} = ℏ c ( k ) ⋅ S ( k ⋅ e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ) = k ℏ ⋅ E n , k {\displaystyle =\hbar c(k)\cdot {\mathcal {S}}(k\cdot e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-})=k\hbar \cdot E_{\mathbf {n} ,k}} なので、En,kは固有値 k ℏ {\displaystyle k\hbar } に対応する固有状態である。
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