運動量 量子論

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運動量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/20 16:05 UTC 版)

量子論

光（あるいは電磁波）は波であるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。 そのエネルギーと運動量は

$E=h\nu =\hbar \omega$

$p={\frac {h\nu }{c}}={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k$

である。（ここで h はプランク定数、ν は振動数、ω = 2πν は角振動数、c は真空中の光速、λ は波長、k は波数である）

前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、ω = ck からこの粒子の質量は 0 であることが分かる。この質量 0 の粒子を光子という。

量子力学では、上記の古典論的運動量 ${\vec {p}}$ は、波動関数 $\psi (t,{\vec {x}})=\psi (t,x,y,z)$ に対する、

${\vec {p}}\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}=\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

という演算子であるとみなされる。ここに、$\,i$ は虚数単位、$\,\nabla$はナブラである。

或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、

$p_{\mu }\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$

である。これらは対応原理と呼ばれ、解析力学における作用積分 $\,S$ の汎関数微分が

${\frac {\delta S}{\delta x^{\mu }}}=p_{\mu }$

であることなどから類推された。

また、正準量子化という方法によれば、位置と運動量は正準交換関係

$[x^{\mu },p_{\nu }]=i\hbar \delta _{\nu }^{\mu }$

$[x^{\mu },x^{\nu }]=0\,,\,[p_{\mu },p_{\nu }]=0$

を満たす物理量として量子化される。