線型代数群

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)

リー代数と代数群

代数群 $G$ のリー代数 ${\mathfrak {g}}$ はいくつかの等価な方法で定義される：単位元 $1 \in G (k)$ における接空間 $T 1 (G)$ として、あるいは左不変導分（英語版）のなす空間として。 $k$ が代数的閉体のとき、 $G$ の座標環の $k$ 上の導分 $D\colon {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)$ が左不変 left-invariant であるとは

D\lambda _{x}=\lambda _{x}D

がすべての $x \in G (k)$ に対して成り立つことをいう。ここで $\lambda _{x}\colon {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)$ は $x$ の左からの乗法により誘導される。任意の体 $k$ に関して、導分の左不変性も類似の線形写像 ${\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)\otimes {\mathcal {O}}(G)$ の等式によって定義される^[8]。導分の括弧積は $[D 1, D 2] = D 1 D 2 - D 2 D 1$ によって定義される。

よって $G$ から ${\mathfrak {g}}$ への移行は a process of differentiation である。元 $x \in G (k)$ に対して、共役写像 $G \to G$ , $g \mapsto xgx -1$ の $1 \in G (k)$ での導分は ${\mathfrak {g}}$ の自己同型であり、随伴表現

\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})

を与える。

標数ゼロの体上において、線型代数群 $G$ の連結部分群 $H$ はリー代数 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ により一意的に定まる^[9]。しかし ${\mathfrak {g}}$ のリー部分代数すべてが $G$ の代数部分群と対応するわけではない。（ $C$ 上のトーラス $G = (G m) 2$ がそのような例である。）正標数の場合には、同じリー代数を定める $G$ の連結部分群はいくつも存在し得る。（重ねてトーラス $G = (G m) 2$ がそのような例である。）このような理由で、代数群のリー代数は重要ではあるものの、代数群の構造論にはより大域的な道具立てが必要とされる。