線型代数群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)
ボレル部分群
ボレル部分群 Borel subgroups は線型代数群の構造論において重要である。代数的閉体 k 上の線型代数群 G に対して、G のボレル部分群とは滑らかで可解な連結（閉）部分群のなかで極大なものを指す。k 上の線型代数群 G は必ずボレル部分群を持つ。例えば、GLn の上三角行列からなる部分群 Bn はボレル部分群である。
理論における基本的な結果のひとつは、代数的閉体 k 上の連結群 G に含まれるどんなボレル部分群も適当な G(k) の元によって互いに共役であるというものである[18]。（標準的な証明はボレルの不動点定理——連結可解群 G が代数的閉体 k 上の空でない完備多様体 X に正則に作用するならば、G の作用で固定される X の k 有理点が存在する——を使う。）GLn におけるボレル部分群の共役は、リー＝コルチンの定理に達する：GLn に含まれる滑らかな連結可解部分群は上三角行列群の部分群と GLn において共役である。
任意の体 k に関して、G のボレル部分群 B は k の代数的閉包 上で が のボレル部分群である k 上の部分群と定義される。したがって G は k 上ではボレル部分群を持たないこともある。
G の閉部分群スキーム H に関して、商空間 G/H は k 上滑らかな準射影的スキームである[19]。連結群 G の滑らかな部分群 P は G/P が k 上射影的（あるいは k 上固有的）であるとき放物型 parabolic という。ボレル部分群 B の重要な性質として、 G/B は旗多様体 flag variety と呼ばれる射影多様体になる。つまり、ボレル部分群は放物型部分群である。より精密には、代数的閉体 k に関して、ボレル部分群は G の極小放物型部分群に他ならない。逆に、ボレル部分群を含む任意の部分群は放物型である[20]。したがって、固定したボレル群を含む G の線型代数部分群をすべて列挙することで、G の放物型部分群を G(k) 共役を除いてすべて列挙することができる。例えば、k 上の部分群 P ⊂ GL3 で上三角行列からなるボレル部分群 B3 を含むものは
- B3
- GL3
である。対応する等質射影多様体 projective homogeneous varieties GL3/P は、それぞれ
- 線型空間の鎖 すべてから成る旗多様体
- 点
- A3 に含まれる直線（一次元部分空間）の射影空間 P2
- A3 に含まれる平面の双対射影空間 P2
である。
- ^ Kolchin 1948.
- ^ Milne 2017, Corollary 4.10.
- ^ Milne 2017, Corollary 8.39.
- ^ Milne 2017, Proposition 1.26(b).
- ^ Borel 1991b, p. 218, Theorem 18.2.
- ^ Borel 1991a, Corollary 18.4.
- ^ Borel 1991a, Remark 14.14.
- ^ Milne 2017, section 10.e.
- ^ Borel 1991a, section 7.1.
- ^ Milne 2017, p. 170, Theorem 9.18.
- ^ Borel 1991a, Corollary 11.3.
- ^ Milne 2017, p. 359, Corollary 17.25.
- ^ Springer 1998, p. 256, Theorem 15.2.6.
- ^ Borel 1991a, 18.2(i).
- ^ Milne 2017, Corollary 14.12.
- ^ Borel 1991a, Theorem 10.6.
- ^ Borel 1991a, Theorem 15.4(iii).
- ^ Borel 1991a, Theorem 11.1.
- ^ Milne 2017, Theorems 7.18 and 8.43.
- ^ Borel 1991a, Corollary 11.2.
- ^ Milne 2017, Definition 6.46.
- ^ Bröcker & tom Dieck 1985, pp. 151ff., section III.8.
- ^ Conrad 2014, section D.3.
- ^ Conrad 2014, after Proposition 5.1.17.
- ^ Conrad 2014, Proposition 5.4.1.
- ^ Springer 1998, 9.6.2 and 10.1.1.
- ^ Milne 2017, Lemma 19.16.
- ^ Milne 2017, Theorem 22.2.
- ^ Renner, Lex (2006), Linear Algebraic Monoids, Springer.
- ^ Milne (2017), Theorem 14.37.
- ^ Deligne & Milne (1982), Corollary II.2.7.
- ^ Deligne & Milne (1982), Remark II.2.28.
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