線型代数群 トーラス

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線型代数群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)

トーラス

代数的閉体 k 上のトーラス torus とは (G_m)ⁿ と同型な群を指す。ここで n はある自然数であり、 (G_m)ⁿ は k 上の乗法群 G_m の n 個のコピーの直積である。線型代数群 G に対して、 G の極大トーラス maximal torus とは G に含まれるトーラスであって、より大きなトーラスに含まれていないものを指す。例えば、k 上の GL_n に含まれる対角行列群は GL_n の極大トーラスで (G_m)ⁿ と同型である。理論における基本的な結果は、代数的閉体 k 上において G のどんな極大トーラスも適当な G(k) の元によって互いに共役であるというものである。G の階数 rank は極大トーラスの次元を指す。

任意の体 k に関して、 k 上のトーラス torus T とは k 上の線型代数群であって、k の代数的閉包への底変換 base change $T_{\bar {k}}$ がある自然数 n に対して ${\bar {k}}$ 上 (G_m)ⁿ と同型であることを指す。k 上分裂トーラス split torus とは n はある自然数に対して k 上 (G_m)ⁿ と同型な群を指す。実数 R 上分裂しないトーラスの例としては

$\mathbf {T} =\{\,(x,y)\in \mathbf {A} _{\mathbf {R} }^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\,\}$

がある。ただし、群構造は複素数 x + iy の積によって与える。ここで T は R 上 1 次元のトーラスである。T(R) は円周群であり、抽象群としてすら G_m(R) = R* と同型でないので、これは分裂しない。

体 k 上のトーラスの任意の元は半単純である。逆に、もし G が連結線型代数群で $G({\bar {k}})$ のすべての元が半単純であるならば G はトーラスである。

一般の基礎体 k 上の線型代数群 G に対して、すべての極大トーラスが G(k) の元によって互いに共役であるとは限らない。例えば、上述の乗法群 G_m や円周群 T は R 上 SL₂ の極大トーラスとして現れる。しかし、 k 上の G に含まれるどんな極大分裂トーラス maixmal split tori （これはより大きな分裂トーラスに含まれていないものを指す）も適当な G(k) の元によって互いに共役である。その結果として、k 上の G の k-rank あるいは split rank を極大分裂トーラスの次元として定義することができる。

体 k 上の線型代数群 G の極大トーラス T に関して、グロタンディークは $T_{\bar {k}}$ は $G_{\bar {k}}$ の極大トーラスであることを示した。この結果から体 k 上の G に含まれる極大トーラスは、同型である必要はないが、同じ次元を持つ。