線型代数群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)
例
正の整数 n に対して、 n 次正則行列から成る体 k 上の一般線型群 GLn は k 上の線型代数群である。これは
- や
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right]}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd1413b5aaac9ebd2a3fba91120a7a13885e281)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right]}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a718a10facecde18c679b2c4381e6cb487bb2c)
という形の行列から成る部分群
を含む。群 Gm = GL1 は乗法群 multiplicative group と呼ばれる。すなわち、群 Gm(k) は体 k のゼロでない元が乗法に関して成す群 k* である。加法群 additive group Ga——Ga(k) = k（加法に関して）——も行列群として表すことができる：例えば GL2 の
という形の行列から成る部分群 U2 として。
乗法群と加法群という、この二つの基本的な可換線型代数群は（代数群としての）線型表現に関して非常に異なった振る舞いをする。乗法群 Gm のすべての表現は既約表現の直和である。（それらの既約表現はすべて1次元で、ある整数 n によって x ↦ xn という形で表される。）対照的に、加法群 Ga の唯一の既約表現は自明表現である。したがって、すべての Ga の表現は自明表現による拡大の反復であり、（表現が自明なときを除いて）それらの直和ではない。線型代数群の構造定理は線型代数群をこれら二つの基本的な群と（後述する）その一般化であるトーラスとべき単群の観点から分析する。
- ^ Kolchin 1948.
- ^ Milne 2017, Corollary 4.10.
- ^ Milne 2017, Corollary 8.39.
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- ^ Borel 1991b, p. 218, Theorem 18.2.
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- ^ Milne 2017, section 10.e.
- ^ Borel 1991a, section 7.1.
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- ^ Milne 2017, Theorems 7.18 and 8.43.
- ^ Borel 1991a, Corollary 11.2.
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- ^ Conrad 2014, after Proposition 5.1.17.
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- ^ Springer 1998, 9.6.2 and 10.1.1.
- ^ Milne 2017, Lemma 19.16.
- ^ Milne 2017, Theorem 22.2.
- ^ Renner, Lex (2006), Linear Algebraic Monoids, Springer.
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- ^ Deligne & Milne (1982), Corollary II.2.7.
- ^ Deligne & Milne (1982), Remark II.2.28.
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