線型代数群

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)

半単純群と簡約群

詳細は「簡約群」を参照

代数的閉体上の連結線型代数群 $G$ が半単純 semisimple であるとは、 $G$ のどんな滑らかで連結な可解正規部分群も自明であることを指す。より一般に、代数的閉体上の連結線型代数群 $G$ が簡約 reductive であるとは、 $G$ のどんな滑らかで連結なべき単正規部分群も自明であることを指す^[21]。（簡約群に連結性を要請しない著者もいる。）半単純群は簡約群である。任意の体 $k$ 上の群 $G$ が半単純あるいは簡約であるとは、 $G_{\bar {k}}$ が半単純あるいは簡約であることを指す。例えば、適当な体 $k$ 上の行列式 $1$ の $n$ 次行列からなる群 $SL n$ は半単純である一方、非自明なトーラスは簡約であるが半単純ではない。同様に、 $GL n$ も簡約であるが半単純でない（なぜならば中心 $G m$ が非自明で滑らかな連結可解正規部分群だから）。

任意のコンパクト連結リー群は複素化（英語版）と呼ばれる複素簡約代数群を持つ。その上、この構成はコンパクト連結リー群と複素簡約群の同型類に対して一対一対応を与える^[22]^[23]。

体 $k$ 上の線型代数群 $G$ は半単純かつ非自明で $k$ 上 $G$ のどんな滑らかな連結正規部分群も自明であるとき、単純 simple （あるいは $k$ -simple）と呼ばれる^[24]。（この性質を almost simple と呼ぶ著者もいる。）この用語は抽象群のものとは僅かに異なっており、単純代数群は非自明な中心を持つことがある（ただし中心は必ず有限になる）。例えば、 $2$ 以上の整数 $n$ と体 $k$ に関して、 $k$ 上の群 $SL n$ は単純で、その中心は $1$ の $n$ 乗根の群スキーム $μ n$ である。

完全体 $k$ 上の連結線型代数群 $G$ は簡約群 $R$ の滑らかな連結べき単群 $U$ による（一意的な）拡大である：

1\to U\to G\to R\to 1.

$U$ は $G$ のべき単根基 unipotent radical と呼ばれる。もし $k$ の標数がゼロならば、より精密にレビ分解（英語版） Levi decomposition を持つ： $k$ 上の線形代数群 $G$ は簡約群のべき単群による半直積 $R ⋉ U$ である^[25]。