線型代数群 簡約群の分類

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線型代数群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)

簡約群の分類

簡約群は実際問題として現れる古典群——GL_n, SL_n, 直交群 SO_n, 斜交群 Sp_2n——などの重要な線型代数群の多くを含んでいる。一方で、簡約群の定義は極めて「消極的」であり、多くを語ることができるのか明らかではない。驚くべきことに、クロード・シュヴァレーは代数的閉体上の簡約群の完全な分類を与えた：それらはルート・データによって決定される。特に、代数的閉体 k 上の単純群は（有限中心的部分群スキームによる商を除いて）そのディンキン図形によって分類される。特筆すべきことに、この分類は k の標数に依存しない。例えば、例外型リー群 G₂, F₄, E₆, E₇, E₈ はどんな標数でも（さらに Z 上の群スキームとしてさえも）定義することができる。有限単純群の分類は多くの有限単純群が有限体 k 上の単純代数群かその亜種の k 有理点のなす群として生じると述べている。

体上の簡約群はトーラスとある単純群との直積の有限中心的部分群スキームによる商である。例えば

$\mathbf {GL} _{n}\cong (\mathbf {G} _{m}\times \mathbf {SL} _{n})/{\boldsymbol {\mu }}_{n}$

である。

任意の体 k に関して、簡約群 G は k 上の極大分裂トーラス（つまり、G に含まれる分裂トーラスであって、k の代数的閉包上でも極大である）を含むならば分裂 split するという。例えば、GL_n はどんな体 k 上でも分裂簡約群である。シュヴァレーは分裂簡約群の分類はどんな体上でも同じであることを示した。それとは対照的に、任意の簡約群の分類は難しいこともあり、基礎体に依存する。例えば、体 k 上の任意の非退化二次形式 q は簡約群 SO(q) を定め、k 上の任意の中心的単純多元環 A は簡約群 SL₁(A) を定める。その結果、k 上の簡約群の分類問題は本質的に k 上の二次形式や k 上の中心的単純多元環の分類問題を含んでいる。これらの問題は k が代数的閉体のときは易しいし、数体などいくつかの体上では理解されているが、任意の体上では多くの未解決問題がある。