球面 面積

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球面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/15 03:30 UTC 版)

面積

半径 r の球面の表面積は

$$A:=4\pi r^{2}$$

で与えられる。この公式の最初の発見者アルキメデスは、外接円筒の側面への射影が面積を保つという事実から公式を導いた。

公式を導く別なやり方は、これが同じく半径 r の球の体積の r に関する微分に等しいという事実を利用することである。これは、半径 r の球の内部の全体積を、半径 0 から r までの無限に薄い球殻を無限個半径に垂直に積み重ねた体積の総和として捉えることとして理解できる。無限に薄いという条件により、各球殻の内側と外側の表面積の差は無限小であり、半径 r に対応する球殻の体積は単に半径 r の球面の表面積と無限に小さい厚みとの積として得られることに注意する。あるいはまた、球面座標系における球面の面積要素 dA ≔ r²sin(θ)⋅dθ⋅dφ の積分としても導出できる。

幾何学的性質

球面は同一平面上にない四点を指定すれば一意に決定される。より一般に、通る点や平面に接するなどの条件が四つあれば球面が一意に決まる。この性質は、平面上の円が同一直線上にない三点で一意に決まるという性質の三次元空間版と見ることができる。その帰結として、球面は一つの円とその円が属する平面上にない一点によって（それらすべてを通るという意味で）一意に決定できる。

ふたつの球面の方程式の共通解を調べれば、ふたつの球面の交線が円となることが確認できる。その交円を含む平面は交わる球面の根面 (radical plane) という。根面は実平面だけれども、交円は虚円（二つの球面が共通実点を持たない）や点円（二つの球面が一点で接する）となることもあり得る

交円上の実点における二つの球面の間の成す角とは、その点における各球面の接平面によって定義される二面角を言う。二つの球面は、その交円上のどの点でも同じ角度で交わる。ふたつの球面が直角に交わるための必要十分条件は、それら球面の中心間の距離の平方がそれらの半径の平方和に等しいことである。

球束

相異なる二つの球面の方程式 f(x, y, z) = 0 および g(x, y, z) = 0 に対して

$$sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0$$

は、助変数 s, t の任意の値に対して、やはり球面の方程式を与える。適当な t, s に対してこの方程式を満足する球面すべてからなる族を、もとのふたつの球面（生成球面）から定まる球束または球面束 (pencil of spheres) と呼ぶ。ただし、この定義において「球面」には平面（無限遠点中心、半径無限大）の場合も許すものとする。生成球面が両方とも平面である場合には、球面束を成すすべての球面が平面となるか、さもなくば球面束はただ一つの平面（生成球面の根面）のみからなる。

球面束がすべて平面からなるのでないならば、それを以下の三種に分類することができる:

• 生成球面の交円が実円 C ならば、球面束は C を含む球面（根面も含めて）全体の成す族になる。球面束に属する通常の球面（平面でないという意味）の中心の軌跡（中心直線）は C の中心を通り根面に直交する直線上にある。
• 生成球面の交円が虚円ならば、球面束に属する球面はこの虚円を通るが、通所の球面としてはそれらは交わらない（共通実点はない）。属する球面の中心直線は根面（これは虚円を含む平面で球面束に属す）に直交する。
• 生成球面の交円が点円 A ならば、束に属する球面は全て点 A において接し、根面は束に属するすべての球面の共通接平面である。中心直線は A において根面と直交する。

根面上の固定された点から束に属する任意の球面に引いた接線の長さは、球面に依らず同じになる。

根面は、束に属する球面すべてに直交する任意の球面の中心が描く軌跡に等しい。もっと言えば、球面束に属する球面の任意のふたつに直交する球面は、束に属するすべての球面と直交し、かつ中心が束の根面上にある。

用語法

球の中心を通る直線上にある球面上の点の対（その直線と球面とのふたつの交点）は対蹠点 (antipodal points) と呼ばれる。球と中心および半径を共有する球面上の円は大円と言い、大円により球面は二つの合同な図形に分けられる。球面の平面切断は「球面切断」（球面断面）という。球面切断はすべて円であり、そのうちで大円でないものは小円と呼ばれる。

二つの相異なる非対蹠点の間の球面に沿った最短距離とは、それら二点を結ぶただ一つの大円がその二点で切り取られる二つの弧のうちの小さいほう（精確には大きくないほう）の長さである。この「大円距離」を備えた球面上で大円はリーマン円となる。

球面上の特定の点を任意に選んで「北極」とするとき、その対蹠点を「南極」と呼んで、両極点から等距離にある大円を赤道とする。二つの極点を結ぶ大円は子午線または経線と呼び、球の内部を通って両極を結ぶ直線を自転軸と呼ぶ。赤道と平行となる球面上の円は緯線である。このような語法は、近似的に楕円体である（地球のような）惑星に対しても用いられるものである（ジオイドも参照）。