円束_(射影幾何学)

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円束 (射影幾何学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/06 03:36 UTC 版)

数学の特に射影幾何学において、円束（えんそく、英: pencil of circles）は、与えられた二つの円（基円あるいは生成円と呼ばれる）から生成される無限個の円からなる族である。初等幾何学において、典型的には「与えられた二円の交点を通る円（または直線）全体の成す族」として円束が与えられる。解析幾何学の手法によれば、生成円の方程式が与えられたとき、それらの生成する円束に属する全ての円の方程式を、生成円の方程式から知ることができる。同じ定式化のもと、生成円が必ずしも交わらなくともそれらの生成する円束を考えることができる。

一つの円束に属する全ての円は、中心が一つの直線（中心線あるいは中心軸と呼ばれる）上にある。中心軸および焦点と呼ばれる二つの特徴点や根軸によって円束の様子を知ることができる。

円束の方程式

与えられた二円の生成する円束の方程式は、その二円の標準形方程式の線型結合として

$\lambda (x^{2}+y^{2}+a_{1}x+b_{1}y+c_{1})+\mu (x^{2}+y^{2}+a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0$

二点を共有する円束の例: 方程式 x² + y² + kx - (k + 4) = 0 の表す円束。

一方の助変数が常に非零であるものとするとき、円束の方程式は助変数を一つにすることができる。例えば、μ ≠ 0 の仮定のもと k = ^λ⁄_μ と置けば、方程式は

$k(x^{2}+y^{2}+a_{1}x+b_{1}y+c_{1})+(x^{2}+y^{2}+a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0$

互いに直交する二つの円束。赤の円束は共通の二点を通り、青の円束はその二点を分離する。