円板被覆問題とは? わかりやすく解説

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円板被覆問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/06/23 06:45 UTC 版)

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円板被覆問題(えんばんひふくもんだい)とは、単位円板を n 枚の円板で被覆しようとするとき、被覆可能である最小の半径 r(n) を求める問題である。また、円板の半径を特定のεとし、単位円板を被覆可能な最小の個数 n を求める問題でもある[1]。集合被覆問題の特殊な例といえる。

最適な解として、以下の様なものが知られている

n r(n) 対称性
1 1 全方向
2 1 全方向(2枚の円板が重なっている状態)
3 =0.866025... 120°回転、3-鏡映
4 =0.707107... 90°回転、4-鏡映
5 0.609382... 1-鏡映
6 0.555905... 1-鏡映
7 =0.5 60°回転、6-鏡映
8 0.445041... 360/7° ≒ 51.4°回転、7-鏡映
9 =0.414213... 45°回転、8-鏡映
10 0.394930... 36°回転、9-鏡映
11 0.380083... 1-鏡映
12 0.361141... 120°回転、3-鏡映

被覆方法

半径約0.6の6つの円板(実践)で被覆された単位円板(破線)の例を考える。被覆するための円板の1つは中央に配置され、残りの5つはその周りに対称的に配置される。

r(7), r(8), r(9), r(10)も中央に1つの円板を配置し、残りをその周囲に並べることで求められる。そして、周囲の円が接する位置を示すθは、上記の表の「対称性」の列に示す。実際の配置は circles covering circles”. 2017年10月30日閲覧。を参照。

関連項目

脚注

  1. ^ Kershner, Richard (1939), “The number of circles covering a set”, American Journal of Mathematics 61: 665–671, doi:10.2307/2371320, MR 0000043 .

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