直積集合とは? わかりやすく解説

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ちょくせき‐しゅうごう〔‐シフガフ〕【直積集合】

読み方:ちょくせきしゅうごう

二つ集合ABに対してAの元(げん)aBの元bとの組(a,b)によって作られる集合{(a,b)}。A×B表される


直積集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/05/19 14:30 UTC 版)

A = {x, y, z} と B = {1, 2, 3} との直積の図示

数学において、集合デカルト積(デカルト­せき、: Cartesian product)または直積(ちょくせき、: direct product)、直積集合、または単に(せき、: product)、積集合は、集合集まり集合族)に対して各集合から一つずつをとりだしてにしたもの(元の族)を元として持つ新たな集合である。

具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 aA, bB順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]集合の組立記法英語版 では

標準的なトランプの52枚のデッキ

直積集合の視覚的にわかりやすい例としては、標準的な52枚一組のトランプのデッキがある。トランプのランクは {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} という 13 の元からなる集合である。スーツは {♠, , , ♣} という 4 の元からなる集合である。この2つの集合の直積集合は、52 の組の元からなる集合であり、それぞれの元は、52枚のトランプのカードと1対1に対応している。

たとえば、ランク × スーツ という直積集合は、

{(A, ♠), (A, ), (A, ), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ), (2, ), (2, ♣)}

という集合であり、スーツ × ランク という直積集合は、

{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

という集合である。

直積集合の元は順序対なので、同じ元はひとつも含まれていない。

2次元直交座標系

点の直交座標の例

有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ℝ×ℝ(ℝ は実数)という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。

定義

有限直積
n 個の集合 A1, …, An に対する直積集合を、
例として A = {y : 1 ≤ y ≤ 4}, B = {x ∈ ℝ : 2 ≤ x ≤ 5}, C = {x ∈ ℝ : 4≤x≤7}} のとき、A ×(BC) = (A × B)∩(A × C), A ×(BC) = (A × B)∪(A × C), A ×(BC) = (A × B)∖(A × C) などが読み取れる。
上と同じ例で (AB)×(CD) ≠ (A × C)∪(B × D) もわかる。
集合 A = {x ∈ ℝ : 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈ ℝ : 3 ≤ x ≤ 7}, C = {y ∈ ℝ : 1 ≤ y ≤ 3}, D = {y ∈ ℝ : 2 ≤ y ≤ 4} に対して (AB)×(CD) = (A × C)∩(B × D) が成り立つ。

性質

Aλ = ∅ であるような λ ∈ Λ が少なくとも一つ存在すれば、
λ∈Λ
Aλ = ∅
であることは、直ちに示される一方、その逆にあたる命題は選択公理 (と同値)である。[3]

集合算

集合のデカルト積は交叉に関してよく振る舞う。すなわち

直積の普遍性: この図式は可換である

普遍性

直積は次のような普遍性を持つものとして特徴付けることができる:

直積の普遍性
任意の集合 Y と任意の写像の族 (fi: YXi)iI が与えられたとき、写像 f: YX
iI
Xi
fi = πif を満たすものがただ一つ存在する。

圏論の言葉で言えば、集合の直積は集合の圏におけるである。

写像の直積

ふたつの写像 f: AX, g: BY が与えられたとき、直積集合 A × B から直積集合 X × Y への写像を

カテゴリ

直積集合

出典:『Wiktionary』 (2020/03/11 13:11 UTC 版)

名詞

直積集合ちょくせきしゅうごう

  1. 数学複数集合からそれぞれの要素一つずつ取り出して順序決めたにし、考えられる全ての組を作りそれぞれの組を改め一つ要素として持つ集合例えば、集合 A = {1, 2, 3} と集合 B = {4, 5, 6} に対して、直積集合 A × B は (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6) という9つの組を要素とする集合積集合、単に直積ともいう。



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