弾性率 （だんせいりつ、英語 : elastic modulus ）は、変形 のしにくさを表す物性値 であり、弾性変形 における応力 とひずみ の間の比例定数の総称である。弾性係数 あるいは弾性定数 とも呼ばれる[ 1]
一般に、加えられた外力（応力）を分子、応力によって引き起こされたひずみを分母とした商で定義される[ 2]
弾性率 := 応力 / ひずみ
ひずみは無次元量 であるので、弾性率は応力と同じ次元 を持ち、SI における単位はパスカル （記号: Pa）、ニュートン 毎平方メートル （記号: N/m2 ）が用いられる。また、弾性率の逆数を弾性コンプライアンス定数 や単に弾性コンプライアンス という。単位は1/Pa、m2 /N。
1807年にトマス・ヤング によって導入された[ 3]
単純な伸長変形のモデル。L 0 は元長、L は変形後長さ、ε は伸長ひずみ、f は力、A 0 は変形前における力と垂直な断面積、σ は応力、E は伸長弾性率、ηE は伸長粘度、
ε
˙
{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}}
単純な剪断変形のモデル。d は変位、h は力と垂直な厚さ、α は倒れ角、γ は剪断ひずみ、f は力、A 0 は変形前における力と平行な断面積、σ は応力、G は剪断弾性率、η は剪断粘度、
γ
˙
{\displaystyle {\dot {\gamma }}}
単純な体積変形のモデル。V 0 は元体積、V は変形後体積、κ は体積ひずみ、f は力、A 0 は変形前における表面積、σ は応力、K は体積弾性率、ηV は体積粘度、
κ
˙
{\displaystyle {\dot {\kappa }}}
弾性変形は伸長（または圧縮）変形、剪断変形、体積変形の3つの種類に分けられ、従って弾性率も3種類ある。それぞれひずみの定義は異なる。
引張弾性率
E
{\displaystyle E}
引張力や圧縮力などの単軸応力についての弾性率。ヤング率 （縦弾性係数）。
E
=
σ
ε
{\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}
伸長ひずみ
ε
=
L
−
L
0
L
0
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}}
L 0 は元々の長さ、L は引張後長さ）
伸長粘度
η
E
=
σ
(
d
ε
/
d
t
)
{\displaystyle \eta _{E}={\frac {\sigma }{(\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)}}}
t は時間）
剪断弾性率
G
{\displaystyle G}
剪断力 についての弾性率。剛性率 （ずり弾性率・横弾性係数・剪断弾性係数・ラメの第二定数）。
G
=
σ
γ
{\displaystyle G={\frac {\sigma }{\gamma }}}
剪断ひずみ
γ
=
d
/
h
=
tan
α
{\displaystyle \gamma =d/h=\tan \alpha }
d は剪断により面が剪断力方向に移動した距離、h は剪断力方向と垂直な試料厚さ、α は試料の面が長方形から平行四辺形 になるときの倒れ角）
剪断粘度
η
=
σ
(
d
γ
/
d
t
)
{\displaystyle \eta ={\frac {\sigma }{(\mathrm {d} \gamma /\mathrm {d} t)}}}
体積弾性率
K
{\displaystyle K}
静水圧 （直角3方向の力）についての弾性率。
K
=
σ
κ
{\displaystyle K={\frac {\sigma }{\kappa }}}
体積ひずみ
κ
=
V
−
V
0
V
0
{\displaystyle \kappa ={\frac {V-V_{0}}{V_{0}}}}
V 0 は元々の体積、V は変形後の体積）
体積粘度
η
V
=
σ
(
d
κ
/
d
t
)
{\displaystyle \eta _{V}={\frac {\sigma }{(\mathrm {d} \kappa /\mathrm {d} t)}}}
一般に、等方性 均質材料（無定形ポリマー、非晶性・無配向ポリマー など）では3種の弾性率（引張弾性率 E 、剪断弾性率 G 、体積弾性率 K ）の関係について次式が成り立つ[ 2]
E
=
2
G
(
1
−
ν
)
=
3
K
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle E=2G(1-\nu )=3K(1-2\nu )}
ここで ν は縦方向のひずみと横方向のひずみとの比（ポアソン比 ）である。
このように等方性材料のヤング率 E 、ポアソン比 ν 、体積弾性率 K 、剛性率 G 、ラメの第一定数 λ の5つの弾性率はそれぞれ、2つを用いて残りの3つを表すことができる。その関係を下表に示す。ここで、
α
:=
(
E
2
+
9
λ
2
+
2
E
λ
)
1
/
2
{\displaystyle \alpha :=(E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda )^{1/2}}
とする。
結晶性ポリマー 、繊維 、フィルム 、繊維充填複合材料 、一般の射出成形 物などは等方性材料ではない（異方性材料）。高分子鎖、充填繊維、結晶相などに配向を持ち、その程度は内部と表面で異なる。これら異方性材料は、独立した2つ以上の弾性率を持つ[ 4]
等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
E
{\displaystyle E}
ヤング率 ）
ν
{\displaystyle \nu }
ポアソン比 ）
K
{\displaystyle K}
体積弾性率 ）
G
{\displaystyle G}
剛性率 ）
λ
{\displaystyle \lambda }
ラメの第一定数 ）
E
,
ν
{\displaystyle E,\nu }
E
{\displaystyle E}
ν
{\displaystyle \nu }
E
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E}{3(1-2\nu )}}}
E
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E}{2(1+\nu )}}}
E
ν
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
E
,
K
{\displaystyle E,K}
E
{\displaystyle E}
3
K
−
E
6
K
{\displaystyle {\dfrac {3K-E}{6K}}}
K
{\displaystyle K}
3
K
E
9
K
−
E
{\displaystyle {\dfrac {3KE}{9K-E}}}
3
K
(
3
K
−
E
)
9
K
−
E
{\displaystyle {\dfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}
E
,
G
{\displaystyle E,G}
E
{\displaystyle E}
E
−
2
G
2
G
{\displaystyle {\dfrac {E-2G}{2G}}}
G
E
3
(
3
G
−
E
)
{\displaystyle {\dfrac {GE}{3(3G-E)}}}
G
{\displaystyle G}
G
(
E
−
2
G
)
3
G
−
E
{\displaystyle {\dfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}
E
,
λ
{\displaystyle E,\lambda }
E
{\displaystyle E}
2
λ
E
+
λ
+
α
{\displaystyle {\dfrac {2\lambda }{E+\lambda +\alpha }}}
E
+
3
λ
+
α
6
{\displaystyle {\dfrac {E+3\lambda +\alpha }{6}}}
E
−
3
λ
+
α
4
{\displaystyle {\dfrac {E-3\lambda +\alpha }{4}}}
λ
{\displaystyle \lambda }
ν
,
K
{\displaystyle \nu ,K}
3
K
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle 3K(1-2\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
K
{\displaystyle K}
3
K
(
1
−
2
ν
)
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}
3
K
ν
1
+
ν
{\displaystyle {\dfrac {3K\nu }{1+\nu }}}
ν
,
G
{\displaystyle \nu ,G}
2
G
(
1
+
ν
)
{\displaystyle 2G(1+\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
2
G
(
1
+
ν
)
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}
G
{\displaystyle G}
2
G
ν
1
−
2
ν
{\displaystyle {\dfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}
ν
,
λ
{\displaystyle \nu ,\lambda }
λ
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
ν
{\displaystyle \nu }
λ
(
1
+
ν
)
3
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}
λ
(
1
−
2
ν
)
2
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
K
,
G
{\displaystyle K,G}
9
K
G
3
K
+
G
{\displaystyle {\dfrac {9KG}{3K+G}}}
3
K
−
2
G
6
K
+
2
G
{\displaystyle {\dfrac {3K-2G}{6K+2G}}}
K
{\displaystyle K}
G
{\displaystyle G}
K
−
2
3
G
{\displaystyle K-{\frac {2}{3}}G}
K
,
λ
{\displaystyle K,\lambda }
9
(
K
−
λ
)
3
K
−
λ
{\displaystyle {\dfrac {9(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}
λ
3
K
−
λ
{\displaystyle {\dfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}
K
{\displaystyle K}
3
2
(
K
−
λ
)
{\displaystyle {\frac {3}{2}}(K-\lambda )}
λ
{\displaystyle \lambda }
G
,
λ
{\displaystyle G,\lambda }
G
(
3
λ
+
2
G
)
λ
+
G
{\displaystyle {\dfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}
λ
2
λ
+
2
G
{\displaystyle {\dfrac {\lambda }{2\lambda +2G}}}
3
λ
+
2
G
3
{\displaystyle {\dfrac {3\lambda +2G}{3}}}
G
{\displaystyle G}
λ
{\displaystyle \lambda }
2階のテンソル量である応力 σ ε D テンソル 量で表すことができる[ 5]
σ
=
D
ε
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {\varepsilon }},}
σ
i
j
=
D
i
j
k
l
ε
k
l
(
i
,
j
,
k
,
l
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\varepsilon _{kl}\quad (i,j,k,l=1,2,3)}
[ 6]
弾性率はテンソルであるため、物質客観性の原理 により座標変換において同じ σ = D ε の関係を保たねばならない。座標系 O-x 1 x 2 x 3 から O-x '1 x '2 x '3
D
i
j
m
n
′
=
D
p
q
r
s
l
i
p
l
j
q
l
m
r
l
n
s
{\displaystyle D'_{ijmn}=D_{pqrs}l_{ip}l_{jq}l_{mr}l_{ns}}
と変換される[ 7] lip は xi 軸と x'p 軸の方向余弦 である。
弾性率テンソルは81(= 34 )個の成分を持つが、応力テンソル σ ε
σ
i
j
=
σ
j
i
,
ε
i
j
=
ε
j
i
{\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji},\ \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}}
D
D
i
j
k
l
=
D
j
i
k
l
=
D
i
j
l
k
=
D
j
i
l
k
{\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}=D_{ijlk}=D_{jilk}}
の性質を持ち、独立な成分は36(= 62 )個となる。さらに単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー
d
W
≡
σ
i
j
d
ε
i
j
{\displaystyle \mathrm {d} W\equiv \sigma _{ij}\,\mathrm {d} \varepsilon _{ij}}
D
i
j
k
l
=
∂
2
W
∂
ε
i
j
∂
ε
k
l
{\displaystyle D_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}}
と表せることから
D
i
j
k
l
=
D
k
l
i
j
{\displaystyle D_{ijkl}=D_{klij}}
が成り立つため、最終的に弾性率テンソル D [ 7]
以上は異方性材料でも成り立つことだが、さらに材料が等方性均質材料の場合、弾性率テンソル D [ 5] [ 8] 等方テンソル を対称化したものである。
D
i
j
k
l
=
λ
δ
i
j
δ
k
l
+
G
(
δ
i
k
δ
j
l
+
δ
i
l
δ
j
k
)
{\displaystyle D_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+G(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta {jk})}
ここで δ はクロネッカーのデルタ である。
粘弾性体 に対しては、弾性率は複素数 で表される。複素弾性率の実部は貯蔵弾性率、虚部は損失弾性率と呼ばれる。
