p 進表現の分類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 23:46 UTC 版)
Kを、局所体であってその剰余体 k の標数が p であるものとする。K の絶対ガロア群GK から Qp 上の有限次元ベクトル空間 V の一般線形群への連続準同型 ρ : GK→ GL(V) を、この記事では K の p 進表現と呼ぶことにする。K の p 進表現全体はアーベル圏を構成する。そのアーベル圏をこの記事では R e p Q p ( K ) {\displaystyle \mathrm {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)} と表す。p 進ホッジ理論では p 進表現を振る舞いの良さによって分類する。振る舞いの良さが同じものは R e p Q p ( K ) {\displaystyle \mathrm {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)} の部分圏を構成し、その部分圏から研究が容易な線型代数的な対象からなる圏への忠実関手が、p 進ホッジ理論により得られる。基本となる部分圏とその包含関係は次の図で示される。 Rep c r i s ( K ) ⊊ Rep s t ( K ) ⊊ Rep d R ( K ) ⊊ Rep H T ( K ) ⊊ Rep Q p ( K ) {\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {cris} }(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{st}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)} 図中の部分圏はその右側の部分圏に真に含まれる充満部分圏であり、左から順番に、クリスタリン表現（英語版）、準安定表現（英語版）、ド・ラム表現（英語版）、ホッジ・テイト表現、全ての p 進表現の圏と呼ばれる。これらに加えて、潜在的クリスタリン表現（英語版）の圏 Reppcris(K) と潜在的準安定表現（英語版）の圏 Reppst(K) が考察の対象となる。後者は前者を真に含み、前者は一般に Repcris(K) を真に含む。さらに、 Reppst(K) は一般に Repst(K) を真に含み、RepdR(K) に含まれる。K の剰余体が有限体であれば Reppst(K) = RepdR(K) が成り立つ。このことは p 進モノドロミー定理（英語版）と呼ばれている。
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