p 進数の場合のヘンゼルの補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 16:16 UTC 版)
「ヘンゼルの補題」の記事における「p 進数の場合のヘンゼルの補題」の解説
p 進数では、p の冪乗を法とする有理数の合同類というものを、分母がpの倍数でなければ考えることができる。このことを使うと、法 pk での根rkから法 pk+1 での根rk+1を求める反復計算をずっと直感的に行うことができる。次の合同式 t f ′ ( r k ) ≡ − ( f ( r k ) / p k ) mod p m {\displaystyle tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m}} を解いて整数tを見つける代わりに、有理数tを次の式 − ( f ( r k ) / p k ) / f ′ ( r k ) {\displaystyle -(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k})} で定める。分母に pk が出てくるように見えるが、f(rk) がpkで割れるため実際には出てこない。そして r k + 1 = r k + t p k = r k − f ( r k ) f ′ ( r k ) {\displaystyle r_{k+1}=r_{k}+tp^{k}=r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}} と置く。これは整数にはならないかもしれないが、p進整数にはなっている。数列rkはあるp 進整数に収束し、極限はf(x) = 0の解になっている。そして、rkからrk+1を計算する漸化式をよく見てみると、実数の場合における求根アルゴリズムであるニュートン法の漸化式とまったく同じになっている。 p 進数の中で計算を行いp 進絶対値を使うことで f ′ ( a ) ≡ 0 mod p {\displaystyle f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}} となってしまうf(a) ≡ 0 mod pの解についても使えるようにしたヘンゼル補題がある。 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} が0になってしまわないことは必要である。この一般化されたヘンゼルの補題は次のようになる。整数 a で | f ( a ) | p < | f ′ ( a ) | p 2 {\displaystyle |f(a)|_{p}<|f'(a)|_{p}^{2}} を満たすものがあったとすると、p 進整数 b でf(b) = 0 かつ | b − a | p < | f ′ ( a ) | p {\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}} となるものが一意的に存在する。このb を作るにはニュートン法の漸化式が初期値aでp 進数に収束することを示しその極限をbと置けばよい。条件 | b − a | p < | f ′ ( a ) | p {\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}} を満たす根としてb が一意であることを示すには追加の議論がいる。 先ほどのヘンゼルの補題の m = 1 {\displaystyle m=1} の場合はこの一般化された補題の特殊な場合になっている。条件f(a) ≡ 0 mod pと f ′ ( a ) ≢ 0 mod p {\displaystyle f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}} は | f ( a ) | p < 1 {\displaystyle |f(a)|_{p}<1} と | f ′ ( a ) | p = 1 {\displaystyle |f'(a)|_{p}=1} を意味するからである。
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