RANS方程式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/15 14:48 UTC 版)
「レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式」の記事における「RANS方程式の導出」の解説
ある瞬間のナビエ-ストークス方程式からRANS方程式を導出するのに必要な基本的ツールは、レイノルズ分解である。レイノルズ分解とは流れの成分（例えば流速 u {\displaystyle u} など）を平均値（ u ¯ {\displaystyle {\bar {u}}} ）と変動量( u ′ {\displaystyle u^{\prime }} )に分ける操作である。この平均操作には特性があり、その一つに変動量の平均値は0 ( u ′ ¯ = 0 ) {\displaystyle ({\bar {u^{\prime }}}=0)} というものがある。この操作により u ( x , t ) = u ¯ ( x ) + u ′ ( x , t ) {\displaystyle u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u^{\prime }({\boldsymbol {x}},t)} となる。ここで x = ( x , y , z ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)} は位置ベクトル。 いくつかの文献では（ ¯ {\displaystyle {\bar {\!}}} はベクトルを表す際に用いられることがあるため） u ¯ {\displaystyle {\bar {u}}} の代わりに U {\displaystyle U} と表記することがある。この場合変動量 u ′ {\displaystyle u^{\prime }} は u {\displaystyle u} と表わす。本項では表記 u , u ¯ , u ′ {\displaystyle u,{\bar {u}},u^{\prime }} はそれぞれ瞬時、平均、変動量を表すものとする。 非圧縮粘性流体のナビエ-ストークス方程式をテンソル表記により表すと次のようになる。 ∂ u i ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0} ∂ u i ∂ t + u j ∂ u i ∂ x j = f i − 1 ρ ∂ p ∂ x i + ν ∂ 2 u i ∂ x j ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}} ここで f i {\displaystyle f_{i}} は外力ベクトル。 次にそれぞれの瞬間物理量を平均値と変動量に分けることで、結果以下の式となる。 ∂ u i ¯ ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0} ∂ u i ¯ ∂ t + u ′ j ∂ u ′ i ∂ x j ¯ = f i ¯ − 1 ρ ∂ p ¯ ∂ x i + ν ∂ 2 u i ¯ ∂ x j ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {{{u^{\prime }}_{j}}{\frac {\partial {u^{\prime }}_{i}}{\partial x_{j}}}}}={\bar {f_{i}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}} 連続式 : ∂ u i ∂ x i = ∂ u i ¯ ∂ x i + ∂ u i ′ ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}=0} から運動方程式は以下のように変形できる。 ∂ u i ¯ ∂ t + u j ¯ ∂ u i ¯ ∂ x j = f i ¯ − 1 ρ ∂ p ¯ ∂ x i + ν ∂ 2 u i ¯ ∂ x j ∂ x j − ∂ u i ′ u j ′ ¯ ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}={\bar {f_{i}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}} さらに変形すると以下のようになる。 ρ ∂ u i ¯ ∂ t + ρ u j ¯ ∂ u i ¯ ∂ x j = ρ f i ¯ + ∂ ∂ x j [ − p ¯ δ i j + 2 μ S i j ¯ − ρ u i ′ u j ′ ¯ ] {\displaystyle \rho {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+\rho {\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S_{ij}}}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]} ここで S i j {\displaystyle S_{ij}} は歪み速度テンソルで、 S i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) {\displaystyle S_{ij}={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\biggr )}} である。 最後に、時間での積分により、時間依存性が削除されるため時間微分項を消去する。 ρ u j ¯ ∂ u i ¯ ∂ x j = ρ f i ¯ + ∂ ∂ x j [ − p ¯ δ i j + 2 μ S i j ¯ − ρ u i ′ u j ′ ¯ ] {\displaystyle \rho {\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S_{ij}}}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]}
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