レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式とは

レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/15 14:48 UTC 版)

レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式（英: Reynolds-averaged Navier-Stokes equation, 略称: RANS）とは、時間平均化 ^[1] された流体の運動方程式である。オズボーン・レイノルズが提唱したレイノルズ分解（英語版）が方程式の前提にあり、レイノルズ分解によって流れの瞬間物理量は時間平均値と変動量に分けられる ^[2]。 RANS方程式は主に乱流を記述するために用いられる。乱流特性に関する知識に基づく近似を用いることで、ナビエ-ストークス方程式の近似時間平均解を与えることができる。

脚注

^ 変数 $x$ の時間平均 ${\bar {X}}$ は以下のように定義される。
${\bar {X}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x\,dt.$
時間平均値が一義的に定義されるためには、平均値 ${\bar {X}}$ が初期条件 $t_{0}$ から独立している必要がある。
^ レイノルズ分解 CAE用語集｜ソフトウェアクレイドル、2018年10月15日閲覧。
^ Tennekes, H.; Lumley, J. L. (1992). A first course in turbulence (14. print. ed.). Cambridge, Mass. [u.a.]: MIT Press. ISBN 978-0-262-20019-6.
^ それぞれの瞬間物理量を平均値と変動量に分けることで、以下の式となる。
${\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}=0$

${\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}+\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}=\left({\bar {f_{i}}}+f_{i}^{\prime }\right)-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.$

さらに方程式を時間平均すると次式が得られる
${\overline {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}=0$

${\overline {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}}+{\overline {\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}}}={\overline {\left({\bar {f_{i}}}+f_{i}^{\prime }\right)}}-{\frac {1}{\rho }}{\overline {\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}+\nu {\overline {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}.$

また、非線形項を以下のように簡略化することができる

${\overline {u_{i}u_{i}}}={\overline {\left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)\left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}}={\overline {{\bar {u_{i}}}{\bar {u_{i}}}+{\bar {u_{i}}}u_{i}^{\prime }+u_{i}^{\prime }{\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }u_{i}^{\prime }}}={\bar {u_{i}}}{\bar {u_{i}}}+{\overline {u_{i}^{\prime }u_{i}^{\prime }}}$