3つの集合からなる組の一種として定義する場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/15 18:57 UTC 版)
「写像」の記事における「3つの集合からなる組の一種として定義する場合」の解説
一方、圏論の用語との整合性を重んじる文脈では、次のようになる。集合 A, B の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）Gf が 全域性: x ∈ A ならば (x, y) ∈ Gf を満たす y ∈ B が存在する 右一意または関数的: (x, y1) ∈ Gf かつ (x, y2) ∈ Gf ならば y1 = y2 の二つをみたすとき、三つ組 f := (A, B, Gf) をこの関数関係 Gf から定まる A から B への写像と呼び、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ Gf であることを f(x) = y と書き、Gf = {(x, y) | y = f(x)} を写像 f のグラフと呼ぶ。二つの写像 (A, B, Gf) と (C, D, Gg) の相等は、三つ組としての相等をいう。特に、f, g がともに A から B への写像のとき、f と g が等しいというのは、この二つの写像のグラフGf と Gg とが A × B の集合として同一であるということ、すなわち ∀x∀y ( (x,y) ∈ Gf ⇔ (x,y) ∈ Gg) ということであるが、これは任意の a ∈ A に対して f(a) = g(a) であることと同値なので、素朴な意味で写像 f と g が等しいと言ったときと同じ意味となる。 圏論の用語と整合性をとる文脈では、写像の相等を扱う際の、二つの写像が「ともに A から B への」写像であるという但し書きは重要である。例えば A から B への写像 f と A から B ⊆ B′ なる B′ への写像 g について、集合として f = g（つまりグラフが一致）でも三つ組としては異なるから、この二つの写像は同一でない。実際、x ↦ x2 なる元の対応で定められる二つの写像 f: R → R と g: R → R≥0 を考えると後者は全射性を持つが前者はそうでない（値域・終域の各項も参照）。 また、超限帰納法を用いるなどして写像を集合論的に構成する場合、始域や終域としては「すべての集合」のような真の類を考えることもある[要出典]。そのような場合でも定義域 A を集合に制限すれば順序対の集まり f|A や値域 f(A) も集合となる[要出典]。
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