2×2 に限った話
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:13 UTC 版)
「二元数」および「実二次正方行列」も参照 2×2 実行列が負の行列式を持つとき、その実対数は存在しない。まず初めに、任意の 2×2 実行列は三種類の複素数 z = x + yε（ただし ε² ∈ {−1, 0, +1}）のいずれか一種類と見なすことができて、そのときの z は2×2 実行列全体の成す環の部分複素数平面上の点になっていることに注意する。 行列式が負であるような場合は ε² = +1 の場合、すなわち分解型複素数平面上にしか存在しない。この平面のうちの1/4のみが指数写像の像であって、この部分（四分象限）においてのみ対数写像が定義できる。三つある他の象限は ε と −1 が生成するクラインの四元群の作用による一つ目の象限の像になる。 たとえば、a = ln 2（このとき cosh a = 5/4 および sinh a = 3/4）とすれば、行列の形で A = exp [ 0 a a 0 ] = [ cosh a sinh a sinh a cosh a ] = [ 1.25 .75 .75 1.25 ] {\displaystyle A=\exp \!{\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\end{bmatrix}}} と書くことができるから、この行列は ln A = [ 0 ln 2 ln 2 0 ] {\displaystyle \ln A={\begin{bmatrix}0&\ln 2\\\ln 2&0\end{bmatrix}}} を対数に持つ。しかし、以下の行列 [ 3 / 4 5 / 4 5 / 4 3 / 4 ] , [ − 3 / 4 − 5 / 4 − 5 / 4 − 3 / 4 ] , [ − 5 / 4 − 3 / 4 − 3 / 4 − 5 / 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{bmatrix}}} . は対数を持たない。これらは、上述の四元群の作用の下で対数を持つ上記の行列 A の共軛として得られるほかの三つを表している。 正則な 2×2 実行列 2 x 2 行列が必ずしも対数を持つとは限らないが、この四元群による作用のもと対数を持つ行列に共役になる。 また以下のようなことも従う。たとえば、上述の行列 A の平方根（英語版）は指数函数に (ln A)/2 を代入することにより、直接的に A = [ cosh ( ( ln 2 ) / 2 ) sinh ( ( ln 2 ) / 2 ) sinh ( ( ln 2 ) / 2 ) cosh ( ( ln 2 ) / 2 ) ] = [ 1.06 .35 .35 1.06 ] {\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{bmatrix}\cosh((\ln 2)/2)&\sinh((\ln 2)/2)\\\sinh((\ln 2)/2)&\cosh((\ln 2)/2)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{bmatrix}}} と計算することができる。 より豊かな例として、初めに ピタゴラスの三つ組（英語版） (p, q, r) をとって a = ln(p + r) − ln q とおくと e a = p + r q = cosh a + sinh a {\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a} が成り立つ。するといま exp [ 0 a a 0 ] = [ r / q p / q p / q r / q ] {\displaystyle \exp \!{\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{bmatrix}}} となるから 1 q [ r p p r ] {\displaystyle {\frac {1}{q}}{\begin{bmatrix}r&p\\p&r\end{bmatrix}}} は行列 [ 0 a a 0 ] ( a = ln ( p + r ) − ln q ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}\quad (a=\ln(p+r)-\ln q)} を対数に持つ。
※この「2×2 に限った話」の解説は、「行列の対数」の解説の一部です。
「2×2 に限った話」を含む「行列の対数」の記事については、「行列の対数」の概要を参照ください。
- 2×2 に限った話のページへのリンク
