非常に豊富な直線束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:09 UTC 版)
基礎となるスキーム S の上にスキーム X が与えられる、もしくは複素多様体が与えられると、直線束（言い換えると、可逆層、つまりランク 1 の局所自由層） L は、埋め込み i : X → PnS が存在し、ある n に対し S 上の n-次元射影空間 PnS 上の標準ツイスト層（英語版）(standard twisting sheaf) O(1) の引き戻し（英語版）(pullback)が L と同型 i ∗ ( O ( 1 ) ) ≅ L {\displaystyle i^{*}({\mathcal {O}}(1))\cong L} になる場合に、非常に豊富であるという。 従って、この考えは前の考えの特別な場合であり、すなわち、大域的に生成されていてある大域的生成子により与えられてた射(morphism)が埋め込みになっているときに、非常に豊富という。 X 上に非常に豊富な層 L と連接層 F が与えられると、セールの定理は、（連接層）F ⊗ L⊗n は充分大きな n に対して有限な大域的切断により生成される。翻って、このことは、大域的切断と高次（ザリスキー）層コホモロジー群 H i ( X , F ) {\displaystyle H^{i}(X,F)} は有限生成であることを意味する。このことは射影的な状況のきわ立った様子である。例えば、体 k 上のアフィン n-空間 Ank に対し、構造層 O の大域的切断は n 変数の多項式であるので、有限生成な k-ベクトル空間にはならない。一方、Pnk にかんしては、大域的な切断はまさに定数函数であり、1-次元の k-ベクトル空間を形成する。
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