静磁場のエネルギーと停留値関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
「静磁場」の記事における「静磁場のエネルギーと停留値関数」の解説
前節の前提条件において、全系の磁気ベクトルポテンシャル A tot {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tot}}} は、以下の汎関数Fの停留関数となることが判る。 F [ A ] := ∫ s ∈ R 3 1 2 < H ( s ) | B ( s ) > − < i f c ( s ) | A tot ( s ) > d s = ∫ s ∈ R 3 1 2 < ν ( s ) ( rot s [ A ( s ) ] ) | ( rot s [ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | A ( s ) > d s (3-5-1) {\displaystyle {\begin{aligned}F[\mathbf {A} ]&:={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{2}}<\ \mathbf {H} (\mathbf {s} )\ |\ \mathbf {B} (\mathbf {s} )>-<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \mathbf {A} _{\text{tot}}(\mathbf {s} )>\ d\mathbf {s} \\&={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{2}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])>-<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \mathbf {A} (\mathbf {s} )>\ d\mathbf {s} \qquad {\text{(3-5-1)}}\end{aligned}}} 次元解析をすると、式(3-5-1)は、エネルギーの次元を持つことが判るが、実際に、式(3-5-1)は、全系のエネルギーとなっている。ここで、 < | > {\displaystyle <\ |\ >} は、内積を表す。νの定義は、式(3-3-4)に記載のとおりである。 式(3-5-1)が、本当に、「磁気ベクトルポテンシャルの停留汎関数」ことを検証しよう。Aに対し、微小な摂動δAを与えた際の第一変分δF、即ち、 δF=F[A+δA]-F[A] (3-5-2) を求める。 F[A+δA]は、以下の被積分関数を、全空間でｓについて積分したものである。 1 2 < ν ( s ) ( rot s [ A ( s ) + δ A ( s ) ] ) | ( rot s [ A ( s ) + δ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | A ( s ) + δ A ( s ) > {\displaystyle {\frac {1}{2}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )+\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )+\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])>\ -<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \mathbf {A} (\mathbf {s} )+\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )>} (3-5-3) 一方、F[A]は、以下の被積分関数を、全空間でｓについて積分したものである。 1 2 < ν ( s ) ( rot s [ A ( s ) ] ) | ( rot s [ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | A ( s ) > {\displaystyle {\frac {1}{2}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])>\ -<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \mathbf {A} (\mathbf {s} )>} (3-5-4) したがって、δFは、以下の(3-5-5)を、全空間でｓについて積分したものである。 < ν ( s ) ( rot s [ A ( s ) ] ) | ( rot s [ δ A ( s ) ] ) > + 1 2 < ν ( s ) ( rot s [ δ A ( s ) ] ) | ( rot s [ δ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | δ A ( s ) > {\displaystyle <\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])>+{\frac {1}{2}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])>\ -<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )>} (3-5-5) 式(3-5-5)から、二次の微小項を無視すると、Fの第”一”変分 δ F [ A ] = ∫ s ∈ R 3 < ν ( s ) ( rot s [ A ( s ) ] ) | ( rot s [ δ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | δ A ( s ) > d 3 s {\displaystyle \delta F[A]={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])>\ -<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )>\ {d}^{3}\mathbf {s} } (3-5-6) を得る。式(3-5-6) に、ベクトル解析の公式を適用する。 div [ X × Y ] =< Y | rot [ X ] > − < X | rot [ Y ] > {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {X} \times \mathbf {Y} ]=<\ \mathbf {Y} \ |\ \operatorname {rot} [\mathbf {X} ]\ >-<\ \mathbf {X} \ |\ \operatorname {rot} [\mathbf {Y} ]\ >} (3-5-7) において X := ν ( s ) rot [ A ( s ) ] (3-5-8) Y := δ A (3-5-9) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} &:={\nu }(\mathbf {s} )\operatorname {rot} [\mathbf {A} (\mathbf {s} )]&{\text{(3-5-8)}}\\\mathbf {Y} &:=\delta \mathbf {A} &{\text{(3-5-9)}}\end{aligned}}} を代入すると、 δ F [ A ] = ∫ s ∈ R 3 − div s [ ( ν ( s ) rot s [ A ] ) × δ A ] d 3 s + ∫ s ∈ R 3 < ( rot s [ ( ν ( s ) ) rot s [ A ( s ) ] ] − i f c ( s ) | δ A ( s ) > d 3 s (3-5-10) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\mathbf {A} ]&={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}-\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[({\nu }(\mathbf {s} )\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} ])\times \delta \mathbf {A} ]\ {d}^{3}\mathbf {s} \\&+{\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}<(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[({\nu }(\mathbf {s} ))\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )]\ ]-{\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )\ |\ \delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )>\ {d}^{3}\mathbf {s} \qquad {\text{(3-5-10)}}\end{aligned}}} 式(3-5-10)の第一項については、式(3-4-6)と、「真空中ではdiv[H]=0であること」を考え併せると、結局物質Ω内の効果しか寄与しないことが判る。さらにガウスの発散定理を考慮すると、式(3-5-10)の第一項は、 ∫ s ∈ Ω − div s [ ( ν ( s ) rot s [ A ] ) × δ A ] d 3 s = − ∫ s ∈ ∂ Ω ( ν ( s ) rot s [ A ] ) × δ A d 2 ( ∂ Ω ) {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }-\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[({\nu }(\mathbf {s} )\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} ])\times \delta \mathbf {A} \ ]\ {d}^{3}\mathbf {s} =-{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }({\nu }(\mathbf {s} )\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} ])\times \delta \mathbf {A} \ {d}^{2}(\partial \Omega )} (3-5-11) となる。従って、式(3-5-10)の第一項が、任意の摂動δAに対して0になるためには、ノイマン条件即ち、 ( rot [ A ] ) × n ∂ Ω = 0 {\displaystyle (\operatorname {rot} [\mathbf {A} ])\times {n}_{\partial \Omega }\ =\ 0} (3-5-12) が満たされればよい。さらに、式(3-5-10)の第二項が、任意の摂動δAに対して0になるためには、 rot [ ν rot [ A ] ] − i f c = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} [{\nu }\operatorname {rot} [\mathbf {A} ]]-{\boldsymbol {i}}_{fc}=0} (3-5-12) であればよい。これは、「ベクトルポテンシャルによる静磁場の方程式」（静磁場の支配方程式）に(式(3-3-10))他ならない。以上から、ノイマン条件下での、静磁場の支配方程式の解は、汎関数Fの停留関数となること判る。
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