静磁場では電位の定義が経路に依存しないことの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/03 08:03 UTC 版)
「電位」の記事における「静磁場では電位の定義が経路に依存しないことの証明」の解説
最後に、静磁場であれば電位の定義が P0 と P を結ぶ経路 C に依存しないことを示す（ポアンカレの補題も参照）。すなわち、C1、C2 を P0 と P を結ぶ任意の2つの経路としたとき、 ∫ C 1 E ⋅ d s = ∫ C 2 E ⋅ d s . {\displaystyle \int _{C_{1}}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{C_{2}}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}.} となることを示す。 このためにいくつか記号を定義する。C1 − C2を以下のような閉曲線とする：C1 にそって P0 から P に行き、その後 C2 を逆向きにたどって P0 に帰る。さらに S を C1 − C2 を境界として持つ任意の曲面とし、磁束密度を B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} 、時刻を t で表す。このとき、 ∫ C 1 E ⋅ d s − ∫ C 2 E ⋅ d s = ∫ C 1 − C 2 E ⋅ d s = ( 1 ) ∫ S r o t E ⋅ d S = ( 2 ) − ∫ S ∂ B ∂ t ⋅ d S = ( 3 ) 0 {\displaystyle \int _{C_{1}}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}-\int _{C_{2}}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{C_{1}-C_{2}}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}{\underset {(1)}{=}}\int _{S}\mathrm {rot} ~{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(2)}{=}}-\int _{S}{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(3)}{=}}0} となるので、左辺第二項を移項することで欲しい式が示せる。ここで(1)と(2)はそれぞれストークスの定理とマクスウェル方程式から従い、(3)は静磁場であることから従う。
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