通常型母関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/15 03:28 UTC 版)
有限列（あるいは同じことだが、ある番号以降の項が全て 0 となる実質有限列）に対応する特別の場合には、通常型母関数は多項式になる。このことは多くの有限列を、ポワンカレ多項式などの母関数によって有効に解釈できるという点で重要である。 重要な母関数として、定数列 1, 1, 1, 1, ... の通常型母関数 ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={1 \over 1-x}} がある。右辺の式は、左辺の冪級数に 1 − x を掛けるとその結果が定冪級数（つまり x0 の項を除く全ての係数が 0 の級数）1 に一致することを確認することで正当化できる。もっといえば、このような性質を持つ冪級数は他に存在することはできず、したがって左辺の冪級数は形式的冪級数環に於ける 1 − x の乗法的逆元を示している。 これを使えば、他のいくつかの列については、通常型母関数の閉じた式を容易に導出することができる。例えば、a を任意の定数とする等比数列 1, a, a2, a3, ... の母関数は ∑ n = 0 ∞ a n x n = 1 1 − a x {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a^{n}x^{n}={1 \over 1-ax}} であり、特に a が −1 として ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 1 + x {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={1 \over 1+x}} が得られる。x を xのある冪乗で置き換えると、列に規則的なギャップを導入することができる。例えば、1, 0, 1, 0, 1, 0, .... という列の母関数は ∑ n = 0 ∞ x 2 n = 1 1 − x 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={1 \over 1-x^{2}}} で与えられる。最初の母関数の平方を計算すると、係数列が1, 2, 3, 4, 5, ... という数列を成すことは容易に確認できる。つまり、母関数について言えば ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n = 1 ( 1 − x ) 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}={1 \over (1-x)^{2}}} が成立する。また立方は係数列として三角数 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... を持ち、n 番目の三角数は二項係数 ( n + 2 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n+2}{2}}} であるから、 ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 2 ) x n = 1 ( 1 − x ) 3 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\tbinom {n+2}{2}}x^{n}={1 \over (1-x)^{3}}} が得られる。また、 ( n + 2 2 ) = 1 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 2 ( n 2 + 3 n + 2 ) {\displaystyle {\binom {n+2}{2}}={\frac {1}{2}}{(n+1)(n+2)}={\frac {1}{2}}(n^{2}+3n+2)} であることに注意すれば、上述の数列の母関数の線型結合をとることにより、平方数の列 0, 1, 4, 9, 16, ... の通常型母関数を G ( n 2 ; x ) = ∑ n = 0 ∞ n 2 x n = 2 ( 1 − x ) 3 − 3 ( 1 − x ) 2 + 1 1 − x = x ( x + 1 ) ( 1 − x ) 3 {\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={2 \over (1-x)^{3}}-{3 \over (1-x)^{2}}+{1 \over 1-x}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}} と求めることができる。
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