母関数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/04 09:39 UTC 版)
数列 an の（通常型）母関数 G ( a n ; x ) = ∑ n a n x n {\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n}a_{n}x^{n}\,} において x = e−s とすると、 G ( a n ; e − s ) = ∑ n a n e − s n {\displaystyle G(a_{n};\mathrm {e} ^{-s})=\sum _{n}a_{n}\mathrm {e} ^{-sn}\,} となる。ここで和を積分に変えれば G ( a t ; e − s ) = ∫ a t e − s t d t {\displaystyle G(a_{t};\mathrm {e} ^{-s})=\int a_{t}\mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t\,} となり、関数 at のラプラス変換と一致する。この意味においてラプラス変換は母関数の「連続版」とみなすことができる。こうした理由により、母関数とラプラス変換は同種の性質を満たすことがある。たとえば母関数の性質 G ( a n ; x ) G ( b n ; x ) = G ( a n ∗ b n ; x ) {\displaystyle G(a_{n};x)G(b_{n};x)=G(a_{n}*b_{n};x)\,} はラプラス変換の性質 L [ f ] ( s ) L [ g ] ( s ) = L [ f ∗ g ] ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}[f](s){\mathcal {L}}[g](s)={\mathcal {L}}[f*g](s)\,} に対応する。ここで * は畳み込み積。
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