母関数による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/25 06:53 UTC 版)
「オイラーの分割恒等式」の記事における「母関数による表現」の解説
オイラーは2種類の分割の方法の個数が等しいことを、母関数を用いて示した。自然数 n を互いに異なる自然数に分割する方法の数を Pd(n) とすると 1 + ∑ n = 1 ∞ P d ( n ) x n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) {\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{d}(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)} である。また、自然数 n を奇数の自然数に分割する方法の数を Po(n) とすると 1 + ∑ n = 1 ∞ P o ( n ) x n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + ∑ k = 1 ∞ x k ( 2 m − 1 ) ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{o}(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+\sum _{k=1}^{\infty }x^{k(2m-1)}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}} である。従って、オイラーの分割恒等式は ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}} と書き表される。
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母関数による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/26 10:22 UTC 版)
「オイラー分割定理」の記事における「母関数による表現」の解説
0以上の整数nに対して、「互いに異なる自然数での分割の集合」をOdd(n)、「奇数の自然数のみでの分割の集合」をStrict(n)とする。 この時O(n):=|Odd(n)|,S(n):=|Strict(n)|とする（集合A に対して、|A|は要素数を表すこととする）と、これら二つの分割を母関数を用いてあらわすと、 ∑ n = 0 ∞ S ( n ) x n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }S(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)} ∑ n = 0 ∞ O ( n ) x n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + ∑ k = 1 ∞ x k ( 2 m − 1 ) ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }O(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+\sum _{k=1}^{\infty }x^{k(2m-1)}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}} のようになる。よって、オイラー分割定理は ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}} という主張をしていることとなる。
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