オイラー分割定理

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オイラー分割定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/26 10:22 UTC 版)

このページオイラー分割定理はオイラーの分割恒等式の捕捉として書かれたもの。

オイラー分割定理とは、0以上の整数nに対して「互いに異なる自然数での分割の集合」と「奇数の自然数のみでの分割の集合」の要素数が等しいことをいう定理である。

母関数による表現

0以上の整数nに対して、「互いに異なる自然数での分割の集合」をOdd(n)、「奇数の自然数のみでの分割の集合」をStrict(n)とする。

この時O(n):=|Odd(n)|,S(n):=|Strict(n)|とする（集合A に対して、|A|は要素数を表すこととする）と、これら二つの分割を母関数を用いてあらわすと、

$\sum _{n=0}^{\infty }S(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)$

$\sum _{n=0}^{\infty }O(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+\sum _{k=1}^{\infty }x^{k(2m-1)}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}$

のようになる。よって、オイラー分割定理は

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}$

という主張をしていることとなる。

証明

証明に関してはオイラーの分割恒等式を参照。

参考文献

• 表現論と分割定理