母関数による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/26 15:26 UTC 版)
「シューアの分割定理」の記事における「母関数による証明」の解説
和因子が6を法として±1に合同とする分割の個数 A(n)と和因子が相異なり、3を法として±1に合同である分割 B(n) の母関数は ∑ n = 0 ∞ A ( n ) q n = ∏ j = 0 ∞ 1 ( 1 − q 6 j + 1 ) ( 1 − q 6 j + 5 ) = 1 ( q ; q 6 ) ∞ ( q 5 ; q 6 ) ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A(n)q^{n}=\prod _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{6j+1})(1-q^{6j+5})}}={\frac {1}{(q;q^{6})_{\infty }(q^{5};q^{6})_{\infty }}}} ∑ n = 0 ∞ B ( n ) q n = ∏ j = 0 ∞ ( 1 + q 3 j + 1 ) ( 1 + q 3 j + 2 ) = ( − q ; q 3 ) ∞ ( − q 2 ; q 3 ) ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B(n)q^{n}=\prod _{j=0}^{\infty }{(1+q^{3j+1})(1+q^{3j+2})}=(-q;q^{3})_{\infty }(-q^{2};q^{3})_{\infty }} で与えられる。但し、q-解析で使用されるq-ポッホハマー記号 ( a ; q ) n = { ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) ( n > 0 ) 1 ( n = 0 ) {\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})&(n>0)\\1&(n=0)\end{cases}}} を用いた。 ( − q ; q 3 ) ∞ ( − q 2 ; q 3 ) ∞ = ( q 2 ; q 6 ) ∞ ( q 4 ; q 6 ) ∞ ( q ; q 3 ) ∞ ( q 2 ; q 3 ) ∞ = ( q 2 ; q 6 ) ∞ ( q 4 ; q 6 ) ∞ ( q ; q 6 ) ∞ ( q 2 ; q 6 ) ∞ ( q 5 ; q 6 ) ∞ ( q 4 ; q 6 ) ∞ = 1 ( q ; q 6 ) ∞ ( q 5 ; q 6 ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}(-q;q^{3})_{\infty }(-q^{2};q^{3})_{\infty }&={\frac {(q^{2};q^{6})_{\infty }(q^{4};q^{6})_{\infty }}{(q;q^{3})_{\infty }(q^{2};q^{3})_{\infty }}}\\&={\frac {(q^{2};q^{6})_{\infty }(q^{4};q^{6})_{\infty }}{(q;q^{6})_{\infty }(q^{2};q^{6})_{\infty }(q^{5};q^{6})_{\infty }(q^{4};q^{6})_{\infty }}}\\&={\frac {1}{(q;q^{6})_{\infty }(q^{5};q^{6})_{\infty }}}\end{aligned}}} であるから、 ∑ n = 0 ∞ B ( n ) q n = ∑ n = 0 ∞ A ( n ) q n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B(n)q^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }A(n)q^{n}} が成り立つ。
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母関数による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:03 UTC 版)
「ラマヌジャンの合同式」の記事における「母関数による証明」の解説
ラマヌジャンの合同式の証明の代表的な方法の一つは、母関数の議論に基づくものである。ラマヌジャン自身も1919年の論文で、5と7を法としたときの合同式の証明に母関数の方法を用いた。次の2つの式は、p(5n+4)と p(7n+5) の母関数の表示を直接与えている。 ∑ n = 0 ∞ p ( 5 n + 4 ) q n = 5 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 5 n ) 5 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 6 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(5n+4)q^{n}}=5{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{5n})^{5}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{6}}}}} ∑ n = 0 ∞ p ( 7 n + 5 ) q n = 7 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 7 n ) 3 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 4 + 49 q ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 7 n ) 7 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 8 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(7n+5)q^{n}}=7{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{7n})^{3}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{4}}}}+49q{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{7n})^{7}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{8}}}}} 右辺を q のべき乗で展開したときに、qnの係数は1番目の式では p(5n+4) となるが、これは5で割り切れる。同様に、qn の係数は2番目の式では p(7n+5) となるが、これは7で割り切れる。すなわち、p(5n+4) ≡ 0 (mod 5) と p(7n+5) ≡ 0 (mod 7) が成り立つ。なお、q-解析で使用されるq-ポッホハマー記号 ( a ; q ) n = { ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) ( n > 0 ) 1 ( n = 0 ) {\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})&(n>0)\\1&(n=0)\end{cases}}} を用いれば、 ∑ n = 0 ∞ p ( 5 n + 4 ) q n = 5 ( q 5 ; q 5 ) ∞ 5 ( q ; q ) ∞ 6 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(5n+4)q^{n}}=5{\frac {(q^{5};q^{5})_{\infty }^{5}}{(q;q)_{\infty }^{6}}}} ∑ n = 0 ∞ p ( 7 n + 5 ) q n = 7 ( q 7 ; q 7 ) ∞ 3 ( q ; q ) ∞ 4 + 49 q ( q 7 ; q 7 ) ∞ 7 ( q ; q ) ∞ 8 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(7n+5)q^{n}}=7{\frac {(q^{7};q^{7})_{\infty }^{3}}{(q;q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7};q^{7})_{\infty }^{7}}{(q;q)_{\infty }^{8}}}} と表すことができる。
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