q-解析とは？わかりやすく解説

$q$ -類似（きゅーるいじ、英: $q$ -analog, $q$ -analogue）とは、理論に $q \to 1$ の極限で、元の理論に一致するように径数 $q$ を導入するような拡張のことをいう。 $q$ -拡張（英: q-extension）などとも呼ばれる。

そのような拡張は何通りも考えうるが、 $q$ -数や、 $q$ -微分や $q$ -積分を用いる $q$ -解析学の定義に基づいた拡張が一般的に用いられ^[1]、解析学や組合せ論、特殊関数、量子群などの分野に応用されている。

概要

最も基本的な $q$ -数 $[n] q$ （ $q$ -整数や $q$ -ブラケット（英: q-bracket）とも呼ばれる）とは、自然数 $n$ の $q$ -類似であって、 $q \to 1$ の極限で $[n] q \to n$ となるように

[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}