逆行列・擬逆行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/02 17:25 UTC 版)
体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）。もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。 階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ。 行列 A が m × n 行列で m > n のとき、 ( A T A ) − 1 A T ⏟ A left − 1 A = I n {\displaystyle \underbrace {(A^{T}A)^{-1}A^{T}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}} となり、左逆元（左逆行列）が存在する。 行列 A が m × n 行列で m < n のとき、 A A T ( A A T ) − 1 ⏟ A right − 1 = I m {\displaystyle A\underbrace {A^{T}(AA^{T})^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}} となり、右逆元（右逆行列）が存在する。 階数落ち (rank-deficient) 行列は逆元も片側逆元も持たない。しかし, ムーア・ペンローズ擬逆行列は任意の行列に対して存在して、（左、右）逆元が存在する場合には擬逆行列はそれと一致する。 行列の逆元の例を挙げる。m < n なる m × n 行列として、2 × 3 行列 A = ( 1 2 3 4 5 6 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}} を考えよう。サイズに関する仮定から右逆元 A right − 1 = A T ( A A T ) − 1 {\displaystyle A_{\text{right}}^{-1}=A^{T}(AA^{T})^{-1}} が存在する。これを実際に計算すると、 A right − 1 = A T ( A A T ) − 1 = ( 1 4 2 5 3 6 ) ( ( 1 2 3 4 5 6 ) ( 1 4 2 5 3 6 ) ) − 1 = ( 1 4 2 5 3 6 ) ( 14 32 32 77 ) − 1 = 1 54 ( 1 4 2 5 3 6 ) ( 77 − 32 − 32 14 ) = 1 18 [ − 17 8 − 2 2 13 − 4 ] {\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{right}}^{-1}&=A^{T}(AA^{T})^{-1}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}\left({\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}\right)^{\!\!\!-1}\\[10pt]&={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14&32\\32&77\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}77&-32\\-32&14\end{pmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}\end{aligned}}} を得る。左逆元は存在しない。実際 A T A = [ 1 4 2 5 3 6 ] [ 1 2 3 4 5 6 ] = [ 17 22 27 22 29 36 27 36 45 ] {\displaystyle A^{T}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}} これは非正則行列なので逆を持たない。
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