誘導されたノルムとは? わかりやすく解説

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誘導されたノルム

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/05/14 05:30 UTC 版)

行列ノルム」の記事における「誘導されたノルム」の解説

2つベクトル空間 Km, Kn におけるベクトルのノルム与えられているとき、それらに対応して m × n 行列空間 Km×n 上の行列ノルム与えることができる。 ‖ A ‖ = max x ∈ K n ‖ x ‖ K n ≤ 1 ‖ A xK m = max x ∈ K n ‖ x ‖ K n = 1 ‖ A xK m = max   x ∈ K n x ≠ 0 ‖ A xK m ‖ x ‖ K n {\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\max _{x\in \mathbb {K} ^{n} \atop \|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}\leq 1}\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}\\[8pt]&=\max _{x\in \mathbb {K} ^{n} \atop \|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}=1}\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}\\&=\max _{\ x\in \mathbb {K} ^{n} \atop x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}}{\|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}}}\end{aligned}}} この行列ノルム誘導ノルム (induced norm) あるいは作用素ノルム (operator norm) と呼ばれるm = n行列定め線型写像定義域値域で同じノルム用いている場合誘導される作用素ノルムは劣乗法的である。ベクトルp ノルム対応して作用素ノルム ‖ A ‖ p = max x ≠ 0 ‖ A x ‖ p ‖ x ‖ p {\displaystyle \|A\|_{p}=\max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}} が得られる。特に p = 1 と p = ∞ に対しては ‖ A ‖ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m | a i j | , ‖ A ‖ ∞ = max 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n | a i j | {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\|A\|_{1}&=&\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|,\\&\|A\|_{\infty }&=&\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|\end{alignedat}}} と計算することができる(前者は各列に対する「成分絶対値の和」の最大の値で、後者各行対す同様の和の最大の値である)。 特に p = 2 かつ m = n, つまり正方行列に対してユークリッドノルムを考えた場合には、誘導された行ノルムはスペクトルノルム (spectral norm) になる。行列 A のスペクトルノルムとは A の最大特異値別な言い方をすれば半正定値行列 A∗ A の最大固有値の平方根 ‖ A ‖ 2 = λ max ( A ∗ A ) = σ max ( A ) {\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\text{max}}(A^{*}A)}}=\sigma _{\text{max}}(A)} で与えられる。ここで A∗ は複素行列 A の随伴行列を表す。 ρ(A) を A のスペクトル半径とすると、誘導ノルムはいずれ不等式 ‖ A ‖ ≥ ρ ( A ) {\displaystyle \|A\|\geq \rho (A)} を満たすスペクトル半径下界与えている)。つまり ρ(A) は A の誘導ノルム全体動かしたときの下限である。さらに言えばlim r → ∞ ‖ A r1 / r = ρ ( A ) {\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A)} というスペクトル半径公式も得られる

※この「誘導されたノルム」の解説は、「行列ノルム」の解説の一部です。
「誘導されたノルム」を含む「行列ノルム」の記事については、「行列ノルム」の概要を参照ください。

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