誘導された全射・双射
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 14:52 UTC 版)
任意の写像はその終域を値域にまで制限することにより全射を誘導し、任意の全射は同じ決まった値に写るような定義域の元を同一視して潰すような商集合の上の全単射を誘導する。きちんと述べれば、任意の全射 f: A → B は以下に述べるように全単射と射影の合成に分解される。A/∼ を x ∼ y ⇔ f(x) = f(y) で定められる同値関係による A の同値類全体の成す集合とする。A/∼ を f による原像全体の成す集合とするといっても同じことである。写像 P~: A ↠ A/∼ を A の各元 x をその同値類 [x]~ へ写す射影とし、fP: A/∼ → B を f P ( [ x ] ∼ ) := f ( x ) {\displaystyle f_{P}([x]_{\sim }):=f(x)} で与えられるよく定義された写像とすればこれは全単射で、f = fP ∘ P~ が成り立つ。
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