記数法ごとの末尾の特徴
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/27 23:12 UTC 版)
「二重平方数」の記事における「記数法ごとの末尾の特徴」の解説
各素数 p について剰余環 Z / p k Z ( k = 1 , 2 , 3 , . . . ) {\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{k}\mathbb {Z} }~(k=1,2,3,...)} における元の四乗を考察することができる。抽象的に ( Z / p k Z ) × {\displaystyle \left(\mathbb {Z} /{p^{k}\mathbb {Z} }\right)^{\times }} の群構造を利用すると見通しがよい。 四乗数を16=24で割った余りは0または1に限られる。これより四乗数を二進法で書いたときの下4桁、四進法での下2桁、八進法・十六進法での下1桁は非常に限られることがわかる。なお、32=25で割った余りは、0, 1, 16, 17の4通りに限られる。 四乗数を3で割った余りは、0または1に限られる。9=32で割った余りは、0, 1, 4, 7の4通りに限られる（三進法で書けば 00, 01, 11, 21）。 四乗数を5で割った余りは、0または1に限られる。25=52で割った余りは、0, 1, 6, 11, 16, 21の6通りに限られる（五進法で書けば 00, 01, 11, 21, 31, 41）。 その他の素数冪でも同様の議論が可能だが、それほどよい絞り込みはできない。 これらを中国剰余定理を用いて組み合わせることで、合成数を含めた任意の底の位取り記数法における四乗数の末尾の情報が得られる。 十進法 四乗数の末位は0, 1, 5, 6の4通りに限られる。下2桁は次の12通りに限られる。下3桁は52通り。 末位が0 ⇒ 下2桁は 00（とくに下4桁は 0000） 末位が1 ⇒ 下2桁は 01, 21, 41, 61, 81 末位が5 ⇒ 下2桁は 25（とくに下4桁は 0625） 末位が6 ⇒ 下2桁は 16, 36, 56, 76, 96 他の底について 六進法では、末位は0, 1, 3, 4の4通りに限られる。下2桁は00, 01, 04, 13, 21, 24, 41, 44の8通りに限られ、00, 13に関してはそれぞれ下4桁が0000, 1213であることまで確定する。 十二進法では、末位は0, 1, 4, 9の4通り。下2桁は8通り。 十六進法では、末位は0, 1の2通り。下2桁は01, 11, ..., E1, F1 および 00, 10 の18通り。これは二進法の下4桁と下8桁に相当する。 二十進法では、末位は0, 1, 5, G(=1610)の4通り。下2桁は12通り。 六十進法では、末位（便宜上十進数2桁で表記する）は0, 1, 16, 21, 25, 36, 40, 45の8通り。下2桁は48通り。
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