補助変数の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 08:32 UTC 版)
この作用は平方根の中に微分を含む形のため扱いが困難である。補助変数 γi(λ) を導入して別の形に書くことが出来る。 S [ X , γ ] = 1 2 ∫ ∑ i ( 1 γ i 2 η μ ν X ˙ i μ X ˙ i ν − m i 2 c 2 ) γ i d λ {\displaystyle S[X,\gamma ]={\frac {1}{2}}\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\gamma _{i}d\lambda } この作用積分は多くの系の運動項と同じく一般化速度の二次形式で書かれている。作用積分の段階では運動は時間的なものに限定されない。また、質量 m がゼロの場合にも意味を持つ。 力学変数 X に関する運動方程式は δ S [ X , γ ] δ X i μ ( λ ) = − p ˙ i μ ( λ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[X,\gamma ]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=0} であり、一般化運動量は p i μ ( λ ) = 1 γ i ( λ ) η μ ν X ˙ i ν ( λ ) {\displaystyle p_{i\mu }(\lambda )={\frac {1}{\gamma _{i}(\lambda )}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )} である。 補助変数 γi は、作用に微分が含まれておらず、非物理的な量である。補助変数の拘束条件は δ S [ X , γ ] δ γ i ( λ ) = 1 2 ( − 1 γ i 2 η μ ν X ˙ i μ X ˙ i ν − m i 2 c 2 ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[X,\gamma ]}{\delta \gamma _{i}(\lambda )}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {1}{\gamma _{i}^{2}}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)=0} となる。質量 m がゼロでないときには γ i 2 = − η μ ν X ˙ i μ X ˙ i ν m i 2 c 2 {\displaystyle \gamma _{i}^{2}=-{\frac {\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }}{m_{i}^{2}c^{2}}}} γ i = 1 m i c − ( X ˙ i ) 2 {\displaystyle \gamma _{i}={\frac {1}{m_{i}c}}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}} となって上の作用積分と等価であることが確認される。補助変数の実数性を仮定すれば、運動が時間的なものに限定される。
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