群作用の対称性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/26 04:08 UTC 版)
群 G と位相空間 X に対し、G の X への任意の作用 α: G × X → X は準同型 φα: G → Aut(F(X)) を与える。ただし F(X) は k-値函数のなす適当な線型環、例えばゲルファント–ナイマルク環 C0(X)（無限遠で消える（英語版）連続函数の環）とする。ここに、φα は φα(g) := αg* で定義され、ここに現れた随伴 αg* は g ∈ G, f ∈ F(X) に対して α g ∗ ( f ) x = f ( α ( g , x ) ) ( ∀ x ∈ X ) {\displaystyle \alpha _{g}^{*}(f)x=f(\alpha (g,x))\quad (\forall x\in X)} λ : k G ⊗ F ( X ) → F ( X ) ; {\displaystyle \lambda \colon kG\otimes F(X)\to F(X);} λ ( ( c 1 g 1 + c 2 g 2 + ⋯ ) ⊗ f ) ( x ) = c 1 f ( g 1 ⋅ x ) + c 2 f ( g 2 ⋅ x ) + ⋯ ( c i ∈ k , g i ∈ G ) {\displaystyle \lambda ((c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2}+\cdots )\otimes f)(x)=c_{1}f(g_{1}\cdot x)+c_{2}f(g_{2}\cdot x)+\cdots \quad (c_{i}\in k,\,g_{i}\in G)} が定まり、これは kG の群的元が F(X) の自己同型を生じるという性質を持つ。 λ を備えた F(X) は以下に述べるような重要な追加の構造を持つ。まず、いくつか言葉を用意する: ホップ加群代数 H をホップ代数とする。（左）ホップ H-加群代数 A とは、それ自身線型環であって、かつ線型環 H 上の（左）加群の構造を持ち、さらに h⋅1A = ε(h)1A および h ⋅ ( a b ) = ( h ( 1 ) ⋅ a ) ( h ( 2 ) ⋅ b ) ( ∀ a , b ∈ A , h ∈ H ) {\displaystyle h\cdot (ab)=(h_{(1)}\cdot a)(h_{(2)}\cdot b)\quad (\forall a,b\in A,h\in H)} を満たすものを言う。ただし、Δ(h) = h(1) ⊗ h(2) は和の記号 ∑ を省略したスウィードラー記法（英語版）である。 ホップスマッシュ積 ホップ代数 H と左ホップ H-加群代数に対し、それらのスマッシュ積代数 A # H とは、テンソル積線型空間 A ⊗ H に積を ( a ⊗ h ) ( b ⊗ k ) := a ( h ( 1 ) ⋅ b ) ⊗ h ( 2 ) k {\displaystyle (a\otimes h)(b\otimes k):=a(h_{(1)}\cdot b)\otimes h_{(2)}k} から定義したもので、この文脈では a ⊗ h ではなくて a # h と書く。ホップスマッシュ積の巡回ホモロジーはすでに計算されている。スマッシュ積 A # H のことを接合積（接合積ホップ代数）A ⋊ H とも呼ぶ。 ( a # g 1 ) ( b # g 2 ) = a ( g 1 ⋅ b ) # g 1 g 2 {\displaystyle (a\mathop {\#} g_{1})(b\mathop {\#} g_{2})=a(g_{1}\cdot b)\mathop {\#} g_{1}g_{2}} のように書ける。
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