矢印表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 03:57 UTC 版)
グラハム数は巨大すぎて、通常の指数では桁数の表現すら事実上不可能である。そのため、次のような特殊な関数を用いる。 まず、クヌースの矢印表記を使い、x, y を自然数としたとき、演算子「↑」を次のように定義する。 x ↑ y = x y {\displaystyle x\uparrow y=x^{y}} さらに「↑↑」を次のように再帰的に定義する。 x ↑↑ 1 = x {\displaystyle x\uparrow \uparrow 1=x} x ↑↑ y = x ↑ { x ↑↑ ( y − 1 ) } {\displaystyle x\uparrow \uparrow y=x\uparrow \left\{x\uparrow \uparrow \left(y-1\right)\right\}} つまり、 x ↑↑ y = x ↑ x ↑ ⋯ ↑ x ⏟ y = x x ⋅ ⋅ ⋅ x ⏟ y {\displaystyle x\uparrow \uparrow y=\ \underbrace {x\uparrow x\uparrow \cdots \uparrow x} _{y}=\underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}}} _{y}} となる（ ⏟ y {\displaystyle \underbrace {} _{y}} は、x が y 個あることを表す）。ただし、演算は右から行う。つまり例えば、x↑x↑x = x↑(x↑x) である。例を挙げると次のようになる。 3 ↑↑ 2 = 3 3 = 27 3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7625597484987 3 ↑↑ 4 = 3 3 3 3 = 3 7625597484987 ≈ 1.258 × 10 3638334640024 3 ↑↑ 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7625597484987 ≈ 3 1.258 × 10 3638334640024 ≈ 10 6.0022 × 10 3638334640023 {\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow 2=&3^{3}=27\\3\uparrow \uparrow 3=&3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987\\3\uparrow \uparrow 4=&3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\\\approx &1.258\times 10^{3638334640024}\\3\uparrow \uparrow 5=&3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\\\approx &3^{1.258\times 10^{3638334640024}}\\\approx &10^{6.0022\times 10^{3638334640023}}\end{aligned}}} 同様に「↑↑↑」を次のように再帰的に定義する。 x ↑↑↑ 1 = x {\displaystyle x\uparrow \uparrow \uparrow 1=x} x ↑↑↑ y = x ↑↑ { x ↑↑↑ ( y − 1 ) } {\displaystyle x\uparrow \uparrow \uparrow y=x\uparrow \uparrow \left\{x\uparrow \uparrow \uparrow (y-1)\right\}} つまり、 x ↑↑↑ y = x ↑↑ x ↑↑ ⋯ ↑↑ x ⏟ y copies of x {\displaystyle x\uparrow \uparrow \uparrow y=\underbrace {x\uparrow \uparrow x\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow x} _{y{\text{ copies of }}x}} である。 一般の場合も同様に、「↑…(n 本)…↑」＝「↑n」を次のように定義する。 x ↑ n 1 = x {\displaystyle x\uparrow ^{n}1=x} x ↑ n y = x ↑ n − 1 { x ↑ n ( y − 1 ) } {\displaystyle x\uparrow ^{n}y=x\uparrow ^{n-1}\left\{x\uparrow ^{n}\left(y-1\right)\right\}}
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