生存分布から導かれる量とは? わかりやすく解説

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生存分布から導かれる量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/07 21:05 UTC 版)

生存分析」の記事における「生存分布から導かれる量」の解説

所与時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} における余寿命future lifetime)は、 t 0 {\displaystyle t_{0}} 歳まで生存した場合死亡までの残り時間である。したがって現在の表記では T − t 0 {\displaystyle T-t_{0}} となる。期待寿命expected future lifetime)とは、余寿命期待値である。 t 0 {\displaystyle t_{0}} 歳まで生存している場合t 0 + t {\displaystyle t_{0}+t} 歳以前死亡する確率は、ちょうど次のとおりとなる。 P ( T ≤ t 0 + t ∣ T > t 0 ) = P ( t 0 < T ≤ t 0 + t ) P ( T > t 0 ) = F ( t 0 + t ) − F ( t 0 ) S ( t 0 ) . {\displaystyle P(T\leq t_{0}+t\mid T>t_{0})={\frac {P(t_{0}t_{0})}}={\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}.} したがって、余寿命確率密度は、 d d t F ( t 0 + t ) − F ( t 0 ) S ( t 0 ) = f ( t 0 + t ) S ( t 0 ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}={\frac {f(t_{0}+t)}{S(t_{0})}}} となり、期待寿命は、 1 S ( t 0 ) ∫ 0 ∞ t f ( t 0 + t ) d t = 1 S ( t 0 ) ∫ t 0 ∞ S ( t ) d t , {\displaystyle {\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{0}^{\infty }t\,f(t_{0}+t)\,dt={\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{t_{0}}^{\infty }S(t)\,dt,} となる。2番目の式は部分積分用いて得られるt 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0} 、つまり出生時場合、これは期待寿命まで減少する信頼性問題では、期待寿命平均故障時間mean time to failureMTTF)と呼び期待寿命平均残留寿命mean residual lifetime)と呼ぶ。 ある個体が t 歳以降まで生存する確率を S(t) とすると、すべての個体生存関数同一であると仮定したとき、定義上、 n 人の新生児初期集団から t 歳時点での生存者期待数は n × S(t) となる。したがって期待される生存者割合は S(t) となる。異な個体生存独立している場合、 t 歳の生存者数はパラメータ n と S(t) を持つ二項分布となり、生存者割合分散は S(t) × (1-S(t))/n となる。 特定の割合生存者が残る年齢は、S(t) = q for t, という方程式を解くことで求めることができる。ここで、 q は当該分位数である。一般的には、 q = 1/2 となる寿命中央値や、 q = 0.90、q = 0.99 などの分位数関心がある。

※この「生存分布から導かれる量」の解説は、「生存分析」の解説の一部です。
「生存分布から導かれる量」を含む「生存分析」の記事については、「生存分析」の概要を参照ください。

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