理論の背景

ウィキペディア小見出し辞書

理論の背景

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/10 03:02 UTC 版)

「ダブルバインド」の記事における「理論の背景」の解説

生物の間で交わされるメッセージには複数のレベルが存在することをラッセルのパラドックスなどを通してベイトソンは明らかにした。例えば犬が戯れに噛み合うとき、 これは「噛むこと」を意味しているというメッセージ これは本気で「噛むこと」ではないという、メッセージについて言及するメタメッセージ があるというものである。これらのメッセージを区別するためには、バートランド・ラッセルの論理階型理論が用いられる。

理論の背景

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/30 16:17 UTC 版)

「ブロッホ＝ドミニシスの定理」の記事における「理論の背景」の解説

量子多体系における温度グリーン関数の理論では、温度グリーン関数によって系の様々な物理量を求めることができるともに、摂動計算を系統的に行うことができる。ここで演算子A, B の温度グリーン関数は G A B ( τ , τ ′ ) := − ⟨ T τ [ A ( τ ) B ( τ ′ ) ] ⟩ で定義される2点相関関数である。但し、記号 ⟨ ⋯ ⟩ は ⟨ ⋯ ⟩ = T r { e − β ( H − μ N ) ⋯ } T r { e − β ( H − μ N ) } = T r { e − β K ⋯ } T r { e − β K } ( K := H − μ N ) で定義されるグランドカノニカル分布での熱平均であり、H はハミルトニアン、N は数演算子、βは逆温度、μは化学ポテンシャルを表す。またA (τ)は A ( τ ) = e + K τ A e − K τ A ( τ ) † = e + K τ A † e − K τ で定義される虚時間τ=it についてのハイゼンベルグ表示の演算子である。Tτは虚時間についての時間順序積であり、 T τ { A 1 ( τ 1 ) A 2 ( τ 2 ) } = { A 1 ( τ 1 ) A 2 ( τ 2 ) ( τ 1 > τ 2 ) ± A 2 ( τ 2 ) A 1 ( τ 1 ) ( τ 2 > τ 1 ) {\displaystyle T_{\tau }\{A_{1}(\tau _{1})A_{2}(\tau _{2})\}=\left\{{\begin{matrix}A_{1}(\tau _{1})A_{2}(\tau _{2})&\quad (\tau _{1}>\tau _{2})\\\pm A_{2}(\tau _{2})A_{1}(\tau _{1})&\quad (\tau _{2}>\tau _{1})\end{matrix}}\right.} を意味する。 一般に温度グリーン関数の計算において、相互作用にある系では、 H = H 0 + V {\displaystyle H=H_{0}+V\,} とハミルトニアンを可解な非摂動項と相互作用を含む摂動項に分け、相互作用表示の演算子 A I ( τ ) = e + K 0 τ A e − K 0 τ A I ( τ ) † = e + K 0 τ A † e − K 0 τ ( K 0 := H 0 − μ N ) {\displaystyle {\begin{aligned}A_{I}(\tau )&=e^{+K_{0}\tau }Ae^{-K_{0}\tau }\\A_{I}(\tau )^{\dagger }&=e^{+K_{0}\tau }A^{\dagger }e^{-K_{0}\tau }\quad (K_{0}:=H_{0}-\mu N)\end{aligned}}} に対して、摂動計算を行うことが必要となる。このとき、摂動計算において、 ⟨ A 1 I ( τ 1 ) ⋯ A n I ( τ n ) ⟩ 0 = T r { e − β K 0 A 1 I ( τ 1 ) ⋯ A n I ( τ n ) } T r { e − β K 0 } {\displaystyle \langle A_{1I}(\tau _{1})\cdots A_{nI}(\tau _{n})\rangle _{0}={\frac {\mathrm {Tr} \{e^{-\beta K_{0}}A_{1I}(\tau _{1})\cdots A_{nI}(\tau _{n})\}}{\mathrm {Tr} \{e^{-\beta K_{0}}\}}}} という高次の相関関数が現れる。ブロッホ＝ドミニシスの定理は、こうした多点相関関数を縮約 ⟨ a α † a α ′ ⟩ 0 = δ α α ′ 1 ∓ e β ε α ⟨ a α a α ′ † ⟩ 0 = δ α α ′ 1 ∓ e − β ε α ⟨ a α † a α ′ † ⟩ 0 = 0 ⟨ a α a α ′ ⟩ 0 = 0 : {\displaystyle {\begin{aligned}\langle a_{\alpha }^{\,\dagger }a_{\alpha '}\rangle _{0}&={\frac {\delta _{\alpha \alpha '}}{1\mp e^{\beta \varepsilon _{\alpha }}}}\\\langle a_{\alpha }a_{\alpha '}^{\,\dagger }\rangle _{0}&={\frac {\delta _{\alpha \alpha '}}{1\mp e^{-\beta \varepsilon _{\alpha }}}}\\\langle a_{\alpha }^{\,\dagger }a_{\alpha '}^{\,\dagger }\rangle _{0}&=0\\\langle a_{\alpha }a_{\alpha '}\rangle _{0}&=0\end{aligned}}:} に分解し、実際の計算を可能にする。