微分多項式環歪多項式環

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微分多項式環・歪多項式環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)

「多項式環」の記事における「微分多項式環・歪多項式環」の解説

詳細は「オーア拡大」を参照 多項式環の別の一般化として、微分多項式環と歪多項式環がある。 微分多項式環 (differential polynomial ring) は環 R と R 上の導分（英語版） δ から形成され、その乗法は関係 Xa = aX + δ(a) を拡張して得られる。標準的な例はワイル代数と呼ばれる環で、R として多項式環 k[t], 変数 X として標準的な多項式微分 ∂/∂t をとる。このとき R[X] の元を多項式環 k[t] に作用する微分作用素と見ることができる。ここで R = k[t] の元 f(t) は掛け算作用素として作用し、X は t に関する微分として作用する。t = Y とラベル付けすれば、正準交換関係 XY − YX = 1 を得て、この環を明示的にワイル代数とすることができる。これは基本的で重要な環である。 歪多項式環 (skew-polynomial ring) は環 R と R 上の自己準同型 f に対して定義される。その乗法は関係 Xr = f(r)X を拡張して与えられ、通常の加法に対して分配的な結合的乗法である。もっと一般に、モノイド N から R の自己準同型環への準同型 F で Xn⋅r = F(n)(r)Xn となるようなものを考えることができる 。歪多項式環は接合積多元環（英語版）と近い関係にある。