微分同相写像とは？わかりやすく解説

数学において、微分同相写像（びぶんどうそうしゃぞう、英: diffeomorphism）は滑らかな多様体の同型写像である。それは1つの可微分多様体を別の可微分多様体に写す可逆関数であって、関数と逆関数が両方滑らかであるようなものである。

定義

2 つの多様体 M と N が与えられたとき、可微分写像 f: M → N は全単射かつ逆写像 f⁻¹: N → M も可微分なとき微分同相（写像） (diffeomorphism) と呼ばれる。この関数が r 回連続微分可能であれば、f は C^r（級）微分同相（写像） (C^r-diffeomorphism) と呼ばれる。

2 つの多様体 M と N が微分同相 (diffeomorphic) である（記号では通常 ≃）とは、M から N への微分同相写像 f が存在するということである。それらが C^r 微分同相 (C^r diffeomorphic) であるとは、それらの間の r 回連続微分可能な全単射が存在して逆写像もまた r 回連続微分可能であるということである。

多様体の部分集合の微分同相写像

多様体 M の部分集合 X と多様体 N の部分集合 Y が与えられると、関数 f: X → Y は次のとき滑らか (smooth) であると言われる。すべての p ∈ X に対して p のある近傍 U ⊂ M と滑らかな関数 g: U → N が存在して制限が一致する $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$

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モデル例。 U, V が Rⁿ の連結開部分集合であって V は単連結なとき、可微分写像 f : U → V が微分同相写像 (diffeomorphism) であるとは、それが固有写像であり微分 Df_x : Rⁿ → Rⁿ が各点 x ∈ U において全単射であるということである。

Remark 1. 関数 f が（その微分が各点で全単射という条件だけのもとでは）大域的に可逆であるためには V が単連結であることは本質的である。例えば、複素平方関数の「実化」
${\begin{cases}f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy)\end{cases}}$

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