崩壊率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/27 05:44 UTC 版)
質量Mの粒子が崩壊する二つの粒子を1および2とラベルする。崩壊粒子の静止系で | p → 1 | = | p 2 → | = [ ( M 2 − ( m 1 + m 2 ) 2 ) ( M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ) ] 1 / 2 2 M , {\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}},\,} これは四元運動量がその崩壊で保存すること要求することで得られる。例えば、 ( M , 0 → ) = ( E 1 , p → 1 ) + ( E 2 , p → 2 ) . {\displaystyle (M,{\vec {0}})=(E_{1},{\vec {p}}_{1})+(E_{2},{\vec {p}}_{2}).\,} 球面座標系では d 3 p → = | p → | 2 d | p → | d ϕ d ( cos θ ) . {\displaystyle d^{3}{\vec {p}}=|{\vec {p}}\,|^{2}\,d|{\vec {p}}\,|\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right).\,} デルタ関数を用いて二体の最終状態について位相空間を d 3 p → 2 {\displaystyle d^{3}{\vec {p}}_{2}} および d | p → 1 | {\displaystyle d|{\vec {p}}_{1}|\,} で積分すると、崩壊粒子の静止系での崩壊率を次のように得ることができる d Γ = S | M | 2 32 π 2 | p → 1 | M 2 d ϕ 1 d ( cos θ 1 ) . {\displaystyle d\Gamma ={\frac {S\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}}{32\pi ^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right).\,}
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崩壊率
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粒子の寿命は崩壊率の Γ {\displaystyle \Gamma } 逆数で与えられる。これは単位時間あたりに粒子が崩壊する確率である。質量 M および四元運動量 P の粒子について、微分崩壊率は一般式によって与えられる： d Γ n = S | M | 2 2 M d Φ n ( P ; p 1 , p 2 , … , p n ) {\displaystyle d\Gamma _{n}={\frac {S\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}}{2M}}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,} ここで n は元の崩壊によって生成された粒子数、 S は区別できない有限状態を説明するための組み合わせ因子（以下を参照）、 M {\displaystyle {\mathcal {M}}\,} は初期状態と最終状態をつなぐ不変行列要素または確率振幅（通常はファインマンダイアグラムを用いて計算される）、 d Φ n {\displaystyle d\Phi _{n}\,} は位相空間の要素、 p i {\displaystyle p_{i}\,} は粒子 iの四元運動量である。 因子 S は次によって与えられる S = ∏ j = 1 m 1 k j ! {\displaystyle S=\prod _{j=1}^{m}{\frac {1}{k_{j}!}}\,} ここでm は最終状態の区別できない粒子の集合の数、 k j {\displaystyle k_{j}\,} は 型jの粒子の数で、 ∑ j = 1 m k j = n {\displaystyle \sum _{j=1}^{m}k_{j}=n\,} である。 位相空間は次によって決定される d Φ n ( P ; p 1 , p 2 , … , p n ) = ( 2 π ) 4 δ 4 ( P − ∑ i = 1 n p i ) ( ∏ i = 1 n d 3 p → i ( 2 π ) 3 2 E i ) {\displaystyle d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=(2\pi )^{4}\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)\,} ここで δ 4 {\displaystyle \delta ^{4}\,} は四次元のディラックのデルタ関数、 p → i {\displaystyle {\vec {p}}_{i}\,} は粒子 iの（三元）運動量、 E i {\displaystyle E_{i}\,} は粒子 iのエネルギーである 規定された最終状態の全崩壊率を得るためには、位相空間に渡り積分する。 粒子が異なる最終状態への複数の崩壊分岐またはモードを持つとき、その全崩壊率は全ての分岐の崩壊率の総和を取ることによって得られる。各モードの分岐率はその崩壊率を全崩壊率で割った値で得られる。
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