古典統計力学による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/22 08:47 UTC 版)
「キュリーの法則」の記事における「古典統計力学による導出」の解説
常磁性磁子が古典的な自由に回転する磁気モーメントであると考えられる場合には、異なる扱いが適用される。この場合、磁気モーメントの状態は球座標における角度で表すことができる。またひとつ当たりのエネルギー E {\displaystyle E} は以下で表される。 E = − μ B cos θ , {\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,} ここで θ {\displaystyle \theta } は磁気モーメントと磁場の間の角度である。なお、ここでは磁場は z {\displaystyle z} 軸方向を向いているとする。 対応する分配関数 Z {\displaystyle Z} は以下で表される。 Z = ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π d θ sin θ exp ( μ B β cos θ ) = − 2 π exp ( μ B β cos θ ) μ B β | 0 π = 4 π sinh ( μ B β ) μ B β {\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\\&=-2\pi {\frac {\exp(\mu B\beta \cos \theta )}{\mu B\beta }}{\Bigg |}_{0}^{\pi }\\&={\frac {4\pi \sinh(\mu B\beta )}{\mu B\beta }}\end{aligned}}} よって磁化の z {\displaystyle z} 成分の期待値は以下となる。（ z {\displaystyle z} 以外は ϕ {\displaystyle \phi } についての積分より0とみなされるため。） ⟨ μ z ⟩ = 1 Z ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π d θ sin θ μ cos θ exp ( μ B β cos θ ) {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={\frac {1}{Z}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \,\mu \cos \theta \,\exp(\mu B\beta \cos \theta )} 計算を簡単にするために、 Z {\displaystyle Z} の微分を用いて表すと以下となる。 ⟨ μ z ⟩ = 1 Z B ∂ Z ∂ β {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZB}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}} （この計算簡略化のアプローチは前述の量子統計力学のモデルの計算でも用いることができるが、もともと計算が複雑ではないため利用する利点は少ない。） これを計算することにより、次の式を得る。 ⟨ μ z ⟩ = μ L ( μ B β ) , {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),} ここで関数 L {\displaystyle L} は L ( x ) = coth x − 1 x {\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}} で表されるランジュバン関数である。 ランジュバン関数は引数 x {\displaystyle x} が小さい場合には L ( x ) ≈ x / 3 {\displaystyle L(x)\approx x/3} と近似され、反対に引数 x {\displaystyle x} が大きい場合には1に漸近する。これより、上記の ⟨ μ z ⟩ {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle } は引数が小さいときにはキュリーの法則に従った振る舞いをするが、キュリー定数は1/3の大きさとなる。また、引数が大きいときには量子統計力学での導出と同様、最大値 N μ {\displaystyle N\mu } へと漸近する。
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