前順序・半順序・全順序
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 02:16 UTC 版)
P を集合とし、≤ を P 上で定義された二項関係とする。 ≤ が反射律と推移律を満たすとき、≤ を P 上の前順序（英語版） (preorder) または擬順序 (quasiorder) という。 ≤ が前順序でありさらに反対称律を満たすとき、≤ を P 上の半順序 (partial order) という。 ≤ が半順序でありさらに全順序律を満たすとき、≤ を P 上の全順序 (total order) という。 ≤ が前順序であるとき (P, ≤) を前順序集合という。同様に ≤ が半順序なら (P, ≤) は半順序集合、全順序なら (P, ≤) は全順序集合という。また集合 P は (P, ≤) の台集合 (underlying set) あるいは台 (support) と呼ばれる。紛れがなければ ≤ を省略し、P を（いずれかの意味で）順序集合という。 順序集合 (P, ≤) に対し、≤ を台 P 上の順序関係ともいう。なお多くの数学の分野では半順序集合を主に扱うので、単に順序あるいは順序集合といった場合はそれぞれ半順序、半順序集合を意味する場合が多いが、分野によっては、主な対象が半順序集合でなく前順序集合や全順序集合である場合があり、そのような分野では前順序集合や全順序集合の意味で「順序集合」という言葉が用いられることがあるので注意が必要である。 上では順序を記号 ≤ で表したが、必ずしもこの記号で表現する必要はない。実数の大小を表す記号 ≤ と区別するため、順序の記号として ≺ {\displaystyle \prec } や ≪ {\displaystyle \ll } を使うこともある。 全順序を線型順序ともいい、全順序集合を鎖と呼ぶこともある。また半順序集合の部分集合 A で A の任意の異なる2元が比較不能であるものを反鎖（英語版）という。@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}半順序集合のことを部分順序集合と呼ぶこともある[要出典]が部分順序集合は順序集合の部分集合に自然な順序を入れたものも指す。 半順序集合の元 a が他の元 b によって被覆される（英語版） (a <: b) とは、a は b よりも真に小さく、かつそれらの間に別の元が入ることはないことをいう。つまり a <: b {\displaystyle a<:b} とは次の3つがすべて成り立つことである： a ≤ b , a ≠ b , ¬ [ ∃ c s.t. a < c < b ] . {\displaystyle a\leq b,\quad a\neq b,\quad \neg [\exists \ c\ {\text{s.t.}}\ a<c<b].}
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