前順序集合体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/08 16:52 UTC 版)
前順序集合体 (preorder field of sets) は三つ組 (X, ≤, F) で (X, ≤) が前順序集合、(X, F) が集合体を成すものをいう。 位相集合体と同様に前順序集合体も開核代数の表現論に重要な役割を果たす。任意の開核代数は前順序集合体として表現することができて、その開核作用素・閉包作用素は、前順序から誘導されるアレクサンドロフ位相 (Alexandrov topology) に関する開核作用素・閉包作用素と対応付けられる。 Int ( S ) = { x ∈ X : there exists a y ∈ S with y ≤ x } and {\displaystyle \operatorname {Int} (S)=\{x\in X:{\mbox{ there exists a }}y\in S{\mbox{ with }}y\leq x\}{\mbox{ and }}} Cl ( S ) = { x ∈ X : there exists a y ∈ S with x ≤ y } for all S ∈ F {\displaystyle \operatorname {Cl} (S)=\{x\in X:{\mbox{ there exists a }}y\in S{\mbox{ with }}x\leq y\}{\mbox{ for all }}S\in \mathbf {F} } 前順序集合体は、各点がクリプキ意味論における可能世界を表す様相論理 S4（認識論理の数学的に厳密な抽象化）において現れる。理論のリンデンバーム・タルスキ代数の表現を導入することにより、その前順序はこの意味論における可能世界の近接可能性の関係を表し、その複体は理論が保持する個々の文章が属するところの可能世界を表す。
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