共振器の安定性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:34 UTC 版)
光線行列解析は、レーザーで使われるような光共振器内での光の状態を表現するのに有効である。最も簡単な例として、反射率 100%、曲率半径 R の2枚の鏡が、距離 d だけ離れて対向している共振器を考える。これは、焦点距離 f = R/2 の同一の薄レンズが距離 d だけ離れて一列に並んでいるのと等価である。これは共振器に等価なレンズ導波路として知られている。導波路の各繰り返し要素の光線行列は、上で述べたとおり、 M = L S = [ 1 d − 1 f 1 − d f ] {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \ \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}} 光線行列解析を用いればは、導波路(と、それに等価な共振器)の安定性を判定することができる。つまり、光が導波路内で周期的に集光され、導波路に沿って進むためには、いかなる条件が必要かを調べることができる。このためには、系の"固有光線"を求めれば良い。すなわち、導波路の繰り返し要素について、入射光線ベクトルに係数 λ をかけたものが、出射光線ベクトルに一致すれば良い。よって、 M [ x 1 θ 1 ] = [ x 2 θ 2 ] = λ [ x 1 θ 1 ] {\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}} これは固有値方程式を与える。 [ M − λ I ] [ x 1 θ 1 ] = 0 {\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0} I は2×2の単位行列である。 光線行列の固有値を求める。式 det [ M − λ I ] = 0 {\displaystyle \operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0} は、固有方程式 λ 2 − tr ( M ) λ + det ( M ) = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0} に書き換えられる。ここで、 tr ( M ) = A + D = 2 − d f {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}} は光線行列のトレースであり、また det ( M ) = A D − B C = 1 {\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1} は光線行列の行列式である。ここで、安定性パラメータ g = d e f tr ( M ) 2 = 1 − d 2 f {\displaystyle g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}} を導入すると、固有方程式は、 λ 2 − 2 g λ + 1 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0} 二次方程式の解の公式より、固有値は、 λ ± = g ± g 2 − 1 {\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,} ここで、N 回繰り返し要素を通過した後の光線を考える。 [ x N θ N ] = λ N [ x 0 θ 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{0}\\\theta _{0}\end{bmatrix}}} 導波路が安定であるならば、いかなる光線も光軸より遠方へと離れては行かないので、 λ N {\displaystyle \lambda ^{N}} は発散しない。ここで、 g 2 > 1 {\displaystyle g^{2}>1} としよう。このとき、2つの固有値はいずれも実数である。 λ + λ − = 1 {\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1} であるので、一方の固有値は絶対値で1よりも大きくならなくてはならない。これは、この固有ベクトルに対応する光線は収束しないことを表している。ゆえに、安定な導波路においては、 g 2 ≤ 1 {\displaystyle g^{2}\leq 1} であり、また固有値は複素数にて表される。 λ ± = g ± i 1 − g 2 = cos ( ϕ ) ± i sin ( ϕ ) = e ± i ϕ {\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }} ただし g = cos ϕ {\displaystyle g=\cos {\phi }} と置換した。 g 2 < 1 {\displaystyle g^{2}<1} において、固有値 λ + {\displaystyle \lambda _{+}} , λ − {\displaystyle \lambda _{-}} に属する固有ベクトルを r + {\displaystyle r_{+}} , r − {\displaystyle r_{-}} とする。 λ + {\displaystyle \lambda _{+}} ≠ λ − {\displaystyle \lambda _{-}} より固有ベクトルは直交しているので、全ベクトル空間を張る。よって、入射光の光線ベクトルは、 c + {\displaystyle c_{+}} , c − {\displaystyle c_{-}} を用いて c + r + + c − r − {\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-}} と表される。 N 回繰り返し要素を通過した後の出力光は、 M N ( c + r + + c − r − ) = λ + N c + r + + λ − N c − r − = e i N ϕ c + r + + e − i N ϕ c − r − {\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-}} これは周期関数を表している。
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