余単位-単位随伴による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
「随伴関手」の記事における「余単位-単位随伴による定義」の解説
圏CとDの余単位-単位随伴は2つの関手 F : C ← D と G : C → D および2つの自然変換（それぞれ、この随伴の余単位射および単位射と呼ばれる） ε : F G → 1 C η : 1 D → G F {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \colon &FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta \colon &1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}} であって、これらの合成 F → F η F G F → ε F F {\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F} G → η G G F G → G ε G {\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G} がそれぞれ、FとG上の恒等変換1F and 1Gとなることをいい、これらの自然変換をそれぞれcounitとunitと呼ぶ。 このとき、 FはGの左随伴であり GはFの右随伴であるという。この関係を ( ε , η ) : F ⊣ G {\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G} 、または単に F ⊣ G {\displaystyle F\dashv G} と書く。 (ε,η)に関する上の条件を等式で書くと、counit-unit恒等式と呼ばれる 1 F = ε F ∘ F η 1 G = G ε ∘ η G {\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}} となり、これはCの各対象XとDの各対象Yについて 1 F Y = ε F Y ∘ F ( η Y ) 1 G X = G ( ε X ) ∘ η G X {\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}} . が成り立つことを意味する。 これらの等式は随伴関手を代数的に操作する証明を短くするのに有用である。対応するstring diaglamでの見た目から、これはときにジグザグ恒等式と呼ばれる。この等式を覚えるには、まず、無意味な等式 1 = ε ∘ η {\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta } を書き下し、簡単なやり方で合成が正しく定義されるようにFとGを追加すればよい。 注: ここでのcounitの"co"という接頭辞は極限(limit)や余極限(colimit)での用法とは一貫していない。なぜなら、余極限は「始」普遍性を満たすのに対し、counitの定める射は「終」普遍性を満たすからである。これらの双対についても同様である。ここでのunitという用語はモナドからの借用であり、恒等射1をモノイドに埋め込むところから来ている。
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