余単位-単位随伴がhom集合随伴を導くこと
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
「随伴関手」の記事における「余単位-単位随伴がhom集合随伴を導くこと」の解説
関手 F : C ← D {\displaystyle F\colon C\leftarrow D} と G : C → D {\displaystyle G\colon C\to D} およびcounit-unit随伴 ( ε , η ) : F ⊣ G {\displaystyle (\varepsilon ,\eta )\colon F\dashv G} が与えられたとして、hom集合の随伴 Φ : h o m C ( F − , − ) → h o m D ( − , G − ) {\displaystyle \Phi \colon \mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)} を以下の手順で構成する。 射 f : F Y → X {\displaystyle f\colon FY\to X} と g : Y → G X {\displaystyle g\colon Y\to GX} に対して、 Φ Y , X ( f ) = G ( f ) ∘ η Y Ψ Y , X ( g ) = ε X ∘ F ( g ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}} と定めると、ηとεが自然であるため、ΦとΨも自然である。 Fが関手であることと、εが自然であることcounit-unit恒等式 1 F Y = ε F Y ∘ F ( η Y ) {\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})} を順番に使って、 Ψ Φ f = ε X ∘ F G ( f ) ∘ F ( η Y ) = f ∘ ε F Y ∘ F ( η Y ) = f ∘ 1 F Y = f {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}} を得る。よって、ΨΦは恒等変換である 双対的に、Gが関手であること、ηが自然であることcounit-unit恒等式 1 G X = G ( ε X ) ∘ η G X {\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}} を順番に使って、 Φ Ψ g = G ( ε X ) ∘ G F ( g ) ∘ η Y = G ( ε X ) ∘ η G X ∘ g = 1 G X ∘ g = g {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}} を得る。よって、ΦΨは恒等変換であり、Φ−1 = Ψを逆写像としてΦは自然同型となる。
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