他の力学の記述との比較
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/06/15 17:59 UTC 版)
「ハミルトン-ヤコビ方程式」の記事における「他の力学の記述との比較」の解説
ハミルトン–ヤコビ方程式は単一の 、 個の一般化座標 と時間 の関数 に対する一階の偏微分方程式である。一般化運動量は の微分としてしか現れない。顕著な特徴であるが、 は古典的な作用に等しい。 比較として、ラグランジュ力学での同値なオイラー＝ラグランジュ方程式にも、共役な運動量はやはり現れない。しかし、それは 個の系 をなす、一般化座標の時間発展に関する一般には二階の微分方程式である。別の比較として、ハミルトンの正準方程式は同じように 個の、一般化座標とそれに共役な に対する一階の微分方程式の系である。 ハミルトン–ヤコビ方程式は、ハミルトンの原理の積分を最小化する問題と同値なので、ハミルトン–ヤコビ方程式は他の変分法の問題、あるいはさらに一般的な他の数学や物理学の領域、たとえば力学系、シンプレクティック幾何学、量子カオスの問題などにおいても便利である。例として、ハミルトン–ヤコビ方程式はリーマン多様体において測地線を求めるのに用いられるが、これはリーマン幾何学における重要な変分問題である。
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他の力学の記述との比較
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/17 06:36 UTC 版)
「ハミルトン–ヤコビ方程式」の記事における「他の力学の記述との比較」の解説
ハミルトン–ヤコビ方程式は単一の 、 N {\displaystyle N} 個の一般化座標 q 1 , … , q N {\displaystyle q_{1},\dots ,q_{N}} と時間 t {\displaystyle t} の関数 S {\displaystyle S} に対する一階の偏微分方程式である。一般化運動量は S {\displaystyle S} の微分としてしか現れない。顕著な特徴であるが、 S {\displaystyle S} は古典的な作用に等しい。 比較として、ラグランジュ力学での同値なオイラー＝ラグランジュ方程式にも、共役な運動量はやはり現れない。しかし、それは N {\displaystyle N} 個の系 をなす、一般化座標の時間発展に関する一般には二階の微分方程式である。別の比較として、ハミルトンの正準方程式は同じように 2 N {\displaystyle 2N} 個の、一般化座標とそれに共役な p 1 , … , p N {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{N}} に対する一階の微分方程式の系である。 ハミルトン–ヤコビ方程式は、ハミルトンの原理の積分を最小化する問題と同値なので、ハミルトン–ヤコビ方程式は他の変分法の問題、あるいはさらに一般的な他の数学や物理学の領域、たとえば力学系、シンプレクティック幾何学、量子カオスの問題などにおいても便利である。例として、ハミルトン–ヤコビ方程式はリーマン多様体において測地線を求めるのに用いられるが、これはリーマン幾何学における重要な変分問題である。
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